2. Zadatak

Prvo rješenje.

Pretpostavimo suprotno, tj. da postoje prirodni brojevi $m$ i $n$ takvi da je

$$k+4=m^3\qquad\text{i}\qquad k^2+5k+2=n^3.$$

Tada je umnožak

$$(k+4)(k^2+5k+2)=k^3+9k^2+22k+8=(mn)^3$$

također kub prirodnog broja. Budući da je

$$(k+2)^3=k^3+6k^2+12k+8<k^3+9k^2+22k+8<k^3+9k^2+27k+27=(k+3)^3,$$

dobili smo da je $(mn)^3$ smješten između dva uzastopna potpuna kuba, što je nemoguće. Slijedi da ne postoji prirodan broj $k$ sa zadanim svojstvom.

Drugo rješenje.

Pretpostavimo suprotno, tj. da postoji prirodan broj $k$ takav da su $k+4$ i $k^2+5k+2$ kubovi nekih prirodnih brojeva. Za svaki prirodan broj $n$ vrijedi da je

$$n^3\equiv0,1\ \text{ili}\ 6\pmod7.$$

Ako $k+4$ daje ostatak $0$, $1$ ili $6$, onda $k$ daje redom ostatak $3$, $4$ ili $2$ pri dijeljenju sa $7$. Tada izraz $k^2+5k+2$ daje redom ostatak $5$, $3$ ili $2$ pri dijeljenju sa $7$, što je kontradikcija. Slijedi da takav prirodan broj $k$ ne postoji.