1. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $E$ točka takva da je trokut $BDE$ jednakokračan i pravokutan s pravim kutom u $D$, a $E$ i $A$ su s iste strane pravca $BD$ (tj. neka je točka $E$ dobivena rotacijom točke $B$ oko točke $D$ za $90^\circ$ u negativnom smjeru). Tada je $|BE|=d\sqrt2$.

Tada je $\angle EDA=90^\circ-\angle ADB=\angle BDC$. Budući da je $|AD|=|CD|$ i $|DE|=|DB|$, prema S–K–S poučku o sukladnosti, trokuti $EAD$ i $BCD$ su sukladni. Zato je $|AE|=b$.

Vrijedi

$$\angle EAB=360^\circ-\angle EAD-\angle DAB=360^\circ-\angle DCB-\angle DAB=\angle ADC+\angle ABC=90^\circ+\beta.$$

Primjenom poučka o kosinusu na trokut $ABE$ dobivamo

$$2d^2=a^2+b^2-2ab\cos(90^\circ+\beta)=a^2+b^2+2ab\sin\beta.$$

Napomena: Ovisno o kutu $\beta$, moguće je da umjesto $\angle EAB=90^\circ+\beta$ vrijedi

$$\angle EAB=\angle EAD+\angle DAB=\angle DCB+\angle DAB=360^\circ-\angle ADC-\angle ABC=270^\circ-\beta.$$

Tvrdnja zadatka vrijedi u oba slučaja.

Drugo rješenje.

Označimo $|AD|=|CD|=c$, $\angle BAD=\alpha$, $\angle BCD=\gamma$, $\angle BDC=\alpha_1$. Iz kosinusovog teorema primijenjenog na trokute $BCD$ i $ABD$ dobijemo

$$\begin{aligned} b^2&=d^2+c^2-2dc\cos\alpha_1,\\ a^2&=d^2+c^2-2dc\cos(90^\circ-\alpha_1)=d^2+c^2-2dc\sin\alpha_1. \end{aligned}$$

Zbrajanjem gornjih jednadžbi slijedi

$$2d^2=a^2+b^2-2c^2+2dc\sin\alpha_1+2dc\cos\alpha_1.$$

Teorem o sinusima primijenjen na trokut $BCD$ nam daje

$$\frac{d}{\sin\gamma}=\frac{b}{\sin\alpha_1},\qquad\text{tj.}\qquad d\sin\alpha_1=b\sin\gamma,$$

a primijenjen na trokut $ABD$ daje

$$\frac{d}{\sin\alpha}=\frac{a}{\sin(90^\circ-\alpha_1)}=\frac{a}{\cos\alpha_1},\qquad\text{tj.}\qquad d\cos\alpha_1=a\sin\alpha.$$

Ako to uvrstimo u jednadžbu za $2d^2$, dobijemo

$$2d^2=a^2+b^2-2c^2+2bc\sin\gamma+2ac\sin\alpha.$$

Na kraju, uočimo da površinu četverokuta $ABCD$ možemo izraziti na dva načina, kao zbroj površina trokuta $ABC$ i $ADC$ te kao zbroj površina trokuta $ABD$ i $BCD$. To nam daje

$$\frac12ab\sin\beta+\frac12c^2=\frac12ac\sin\alpha+\frac12bc\sin\gamma.$$

Dakle,

$$2ab\sin\beta=2bc\sin\gamma+2ac\sin\alpha-2c^2,$$

iz čega slijedi

$$2d^2=a^2+b^2+2ab\sin\beta.$$