1. Zadatak

Za $x,y>1$ vrijedi $\log_yx=\dfrac{\log x}{\log y}$.

Neka je $x=\log a$, $y=\log b$, $z=\log c$. Zbog $a,b,c>1$ vrijedi $x,y,z>0$.

Polazna nejednakost može se zapisati u ekvivalentnom obliku

$$\frac{y+z}x+\frac{z+x}y+\frac{x+y}z\ge\frac{4x}{y+z}+\frac{4y}{z+x}+\frac{4z}{x+y}.$$

Dovoljno je pokazati

$$\frac zx+\frac zy\ge\frac{4z}{x+y}.$$

Množenjem s $xy(x+y)$ i sređivanjem dobivamo $z(x-y)^2\ge0$, što vrijedi. Zato vrijedi i polazna nejednakost.

Napomena. Nejednakost $\dfrac zx+\dfrac zy\ge\dfrac{4z}{x+y}$ slijedi i iz A-H nejednakosti.