2. Zadatak

Označimo $Q(x)=x^2+4x-7$. Imamo $0=P(Q(1))=P(-2)$. Zato je $P(x)=a(x+2)(x-p)$, gdje je $p$ realan broj. Dobivamo

$$\begin{aligned}P(Q(x))&=a(x^2+4x-7+2)(x^2+4x-7-p)\\&=a(x-1)(x+5)(x^2+4x-7-p).\end{aligned}$$

To znači da su rješenja dane jednadžbe brojevi 1, $-5$ i rješenja kvadratne jednadžbe

$$x^2+4x-7-p=0.\qquad(1)$$

Kako je barem jedno rješenje gornje jednadžbe dvostruko, tada je ili jedan od brojeva 1 i $-5$ rješenje jednadžbe (1) ili ona ima dvostruko rješenje.

Nadalje, iz jednadžbe (1) se vidi da je zbroj njezinih rješenja jednak $-4$, pa je broj 1 njezino rješenje ako i samo ako je $-5$ također njezino rješenje.

Postoje dvije mogućnosti:

a) Brojevi 1 i $-5$ su rješenja od (1) (tada je $p=-2$) i jednadžba $P(Q(x))=a(x-1)^2(x+5)^2$ ima dva dvostruka rješenja.

b) Jednadžba (1) ima dvostruko rješenje. Kako je zbroj njezinih rješenja jednak $-4$, ona moraju biti jednaka $(-4):2=-2$. (U tom slučaju je $p=-11$ i jednadžba postaje $P(Q(x))=a(x-1)(x+5)(x+2)^2=0$.)