2. Zadatak

(a) Tvrdimo da Miljen može postići da nakon svakog njegovog poteza na ploči bude zapisan neki neparni broj $n$ i parno mnogo jedinica, točnije, njih $2019-n$. Tada nakon 1009 Miljenovih poteza na ploči ostaje samo broj 2019 te Rudi ne može napraviti potez, tj. Miljen pobjeđuje.

Na početku ploča izgleda upravo kako je opisano, zapravo je $n=1$. Rudi može izbrisati dvije jedinice i na ploču zapisati broj 2, tada Miljen izbriše brojeve $n$ i 2, što može jer je broj $n$ neparan, te na ploču zapiše broj $n+2$. Miljen time ploču dovodi u željeno stanje.

Jedina druga opcija koju Rudi ima je izbrisati broj $n$ i jednu jedinicu te zapisati broj $n+1$. No, tada Miljen izbriše broj $n+1$ i još jednu jedinicu, što sigurno može jer je u tom trenutku neparno jedinica na ploči, te zapiše broj $n+2$.

Dakle, upravo opisana strategija Miljenu donosi sigurnu pobjedu.

(b) U ovom slučaju Miljen koristi istu strategiju kao u (a), osim u svom zadnjem potezu. Naime, nakon svakog Miljenovog poteza je na ploči neparan broj $n$ i neparno mnogo jedinica, točnije, njih $2020-n$. Preostaje samo opisati Miljenov zadnji potez, tj. njegov 1009. potez.

Ukoliko su nakon Rudijevog 1009. poteza na ploči napisani brojevi 2018, 1 i 1, onda Miljen izbriše te dvije jedinice i zapiše na ploču broj 2. Rudi tada više ne može napraviti potez, jer brojevi 2018 i 2 nisu relativno prosti, tj. Miljen pobjeđuje.

Ako su nakon Rudijevog 1009. poteza na ploči napisani brojevi 2017, 2 i 1, onda Miljen obriše brojeve 2017 i 1 te na ploču zapiše broj 2018. Dakle, Miljen opet pobjeđuje.