2. Zadatak

Označimo $a=\sin t+\cos t$. Tada je

$$a^2=1+2\sin t\cos t.$$

Raspisivanjem dane jednakosti dobivamo

$$1+(\sin t+\cos t)+\sin t\cos t=\frac54,$$

odnosno

$$1+a+\frac12(a^2-1)=\frac54.$$

Odavde sređivanjem dobivamo kvadratnu jednadžbu

$$2a^2+4a-3=0$$

čija su rješenja

$$a=\frac{-4\pm\sqrt{4^2+4\cdot3\cdot2}}{2\cdot2} =\frac{-2\pm\sqrt{10}}2 =-1\pm\frac{\sqrt{10}}2.$$

Kako je $-1-\frac{\sqrt{10}}2\approx-2.58$ manje od $-2$, a $\sin t+\cos t$ poprima vrijednosti iz intervala $[-\sqrt2,\sqrt2]$, ovo rješenje treba odbaciti.

Zato je jedino rješenje

$$a=-1+\frac{\sqrt{10}}2\approx0.58.$$