7. Zadatak

Prvo rješenje.

Četvrti kut danog četverokuta je $\angle BCD=30^\circ$. Označimo sa $E$ sjecište pravaca $BC$ i $DA$. Neka je $|DE|=x$.

Mjere kutova $\angle ABE$ i $\angle BAE$ iznose $60^\circ$ pa je trokut $ABE$ jednakostraničan, te je $|AE|=|BE|=|AB|=1$.

Trokut $CDE$ je pravokutan, sa šiljastim kutovima $\angle DCE=30^\circ$ i $\angle CED=60^\circ$. Stoga je $|CE|=2x$ i $|CD|=x\sqrt3$.

Odredimo sada duljine svih stranica četverokuta $ABCD$:

$$|AB|=1,\qquad |BC|=2x-1,\qquad |CD|=x\sqrt3,\qquad |DA|=x-1.$$

Kako je četverokut $ABCD$ tangencijalan, vrijedi $|AB|+|CD|=|BC|+|DA|$, tj.

$$1+x\sqrt3=(2x-1)+(x-1),$$

pa je

$$(3-\sqrt3)x=3,$$

odnosno

$$x=\frac3{3-\sqrt3}=\frac{3+\sqrt3}{2}.$$

Opseg četverokuta $ABCD$ je

$$\begin{aligned} |AB|+|BC|+|CD|+|DA|&=1+(2x-1)+x\sqrt3+(x-1)\\ &=(3+\sqrt3)x-1\\ &=\frac12(3+\sqrt3)^2-1\\ &=5+3\sqrt3. \end{aligned}$$

Drugo rješenje.

Neka je $S$ središte upisane kružnice i neka su $K,L,M,N$ dirališta te kružnice sa stranicama (v. sliku).

Pravci $AS$, $BS$, $CS$ i $DS$ su simetrale kutova, dok su $SK$, $SL$, $SM$ i $SN$ okomiti na odgovarajuće stranice.

Lako se uočavaju parovi sukladnih pravokutnih trokuta: $SKB\cong SLB$, $SLC\cong SMC$, $SMD\cong SND$ i $SNA\cong SKA$.

Zato je $|BL|=|BK|$, $|AK|=|AN|$, $|CL|=|CM|$ i $|DM|=|DN|$, a opseg četverokuta $ABCD$ iznosi

$$2|AK|+2|BK|+2|DN|+2|CL|=2(|AB|+|DN|+|CL|)=2(1+|DN|+|CL|).$$

Označimo polumjer upisane kružnice s $r$. Četverokut $SMDN$ je kvadrat jer ima tri prava kuta i dvije susjedne sukladne stranice, pa je $|DN|=r$.

Iz trokuta $SLC$ s kutom $\angle SCL=15^\circ$ dobivamo $|CL|=r\operatorname{ctg}15^\circ$.

Dakle, traženi opseg je

$$2(1+r+r\operatorname{ctg}15^\circ)=2+2r(1+\operatorname{ctg}15^\circ).$$

Iz jednakostraničnog trokuta $ABS$ čija je visina $SK$ polumjer upisane kružnice, dobivamo

$$r=|SK|=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Vrijedi $\operatorname{ctg}15^\circ=2+\sqrt3$. Konačno, opseg četverokuta $ABCD$ je

$$2+2r(1+\operatorname{ctg}15^\circ)=2+\sqrt3(1+2+\sqrt3)=5+3\sqrt3.$$