5. Zadatak

Neka su $a_1,a_2,a_3,\ldots,a_{2021}$ proizvoljni prirodni brojevi od kojih nijedan nije djeljiv s $2021$. Ako među zbrojevima:

$$\begin{gathered} a_1\\ a_1+a_2\\ a_1+a_2+a_3\\ \cdots\\ a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{2021} \end{gathered}$$

postoji broj djeljiv s $2021$ dokaz je gotov.

Ako niti jedan od danih zbrojeva nije djeljiv s $2021$ onda pri dijeljenju s $2021$ daju jedan od $2020$ ostataka: $1,2,3,\ldots,2020$.

Kako ima $2021$ zbrojeva, a ostataka je $2020$, prema Dirichletovom principu slijedi da barem dva zbroja daju isti ostatak pri dijeljenju s $2021$, odnosno

$$a_1+a_2+a_3+\cdots+a_k=2021m+r\quad\text{i}\quad a_1+a_2+a_3+\cdots+a_l=2021n+r.$$

Za $k<l$ vrijedi:

$$a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots+a_l=2021(n-m)$$

pa je zbroj $a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots+a_l$ djeljiv s $2021$.