7. Zadatak

Odredimo najprije površine osnovki.

Središnji kut pravilnog dvanaesterokuta je $\frac{360^\circ}{12}=30^\circ$.

$$B_1=12\cdot\frac{R\cdot R\sin30^\circ}2=3R^2,\quad B_2=12\cdot\frac{r\cdot r\sin30^\circ}2=3r^2$$

Promotrimo dijagonalni presjek dane krnje piramide koji je jednakokračan trapez s osnovicama $2R$ i $2r$.

Računamo visinu krnje piramide

$$\operatorname{tg}60^\circ=\frac h{R-r},\quad h=(R-r)\sqrt3.$$

Tada je traženi volumen

$$V=\frac h3(B_1+\sqrt{B_1B_2}+B_2)$$ $$\begin{gathered} V=\frac{(R-r)\sqrt3}3\left(3R^2+\sqrt{3R^2\cdot3r^2}+3r^2\right)\\ V=\frac{\sqrt3}3(R-r)(3R^2+3Rr+3r^2)\\ V=\sqrt3(R-r)(R^2+Rr+r^2)=\sqrt3(R^3-r^3) \end{gathered}$$