2. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $v_a=v_b+v_c$. Tada je najkraća stranica trokuta stranica $a$.

Pomnožimo danu jednakost s $\frac{abc}2$.

$$v_a\cdot\frac{abc}2=v_b\cdot\frac{abc}2+v_c\cdot\frac{abc}2$$

Stavimo li da je $P$ površina trokuta, dobit ćemo da je

$P\cdot b\cdot c=P\cdot a\cdot c+P\cdot a\cdot b$.

Slijedi da je

$$a=\frac{bc}{b+c}$$

Drugo rješenje.

Neka je $v_a=v_b+v_c$. Tada je najkraća stranica trokuta stranica $a$.

Ako je $P$ površina danog trokuta tada iz

$$P=\frac{a\cdot v_a}2=\frac{b\cdot v_b}2=\frac{c\cdot v_c}2$$

slijedi

$$v_a=\frac{2P}a,\quad v_b=\frac{2P}b,\quad v_c=\frac{2P}c.$$

Jednakost $v_a=v_b+v_c$ prelazi u

$$\frac{2P}a=\frac{2P}b+\frac{2P}c\quad\text{odnosno}\quad\frac1a=\frac1b+\frac1c$$

Slijedi da je

$$a=\frac{bc}{b+c}.$$