4. Zadatak

Kako su $\operatorname{tg}\alpha$ i $\operatorname{tg}\beta$ realni korijeni, diskriminanta dane jednadžbe mora biti $\ge0$.

$D=p^2+4\sqrt3$, što je pozitivno za sve realne brojeve $p$.

$$x^2+px-\sqrt3=0,\quad x_1=\operatorname{tg}\alpha,\quad x_2=\operatorname{tg}\beta$$

Kako je $x_1+x_2=-p$, to je

$$\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta=-p.$$

Kako je $x_1\cdot x_2=-\sqrt3$, to je

$$\operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{tg}\beta=-\sqrt3.$$

Ako je $\alpha+\beta=\frac\pi3$, onda je $\operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\operatorname{tg}\frac\pi3$, odnosno

$$\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta}{1-\operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{tg}\beta}=\sqrt3.$$ $$\frac{-p}{1+\sqrt3}=\sqrt3\quad\text{pa je}\quad p=-3-\sqrt3.$$