5. Zadatak

Obujam koji nastaje pri rotaciji trokuta $ABD$ oko pravca $AB$ je

$$V_1=\frac{r_1^2\pi h}{3}+\frac{r_1^2\pi(c-h)}{3}=\frac{r_1^2c\pi}{3}.$$

Analogno, $V_2=\frac{r_2^2b\pi}{3}$ je obujam koji nastaje pri rotaciji trokuta $ACD$ oko pravca $AC$.

$$V_1=V_2\Rightarrow\frac{r_1^2c\pi}{3}=\frac{r_2^2b\pi}{3}\Rightarrow\frac{r_1^2}{r_2^2}=\frac bc\quad\text{ili}\quad\frac{r_1}{r_2}=\sqrt{\frac bc}. \tag{*}$$

Po poučku o kosinusu izračunamo duljinu stranice $c$.

$$21=16+c^2+4c\Rightarrow c^2+4c-5=0\Rightarrow c=1\,\text{cm}.$$

Sada je

$$\frac{r_1}{r_2}=\sqrt{\frac bc}=\sqrt{\frac41}=2\quad\text{ili}\quad\frac{r_2}{r_1}=\sqrt{\frac cb}=\frac12.$$

Iz pravokutnih trokuta $DEB$ i $CFD$ računamo traženi omjer:

$$\frac xy=\frac{\frac{r_1}{\sin\beta}}{\frac{r_2}{\sin\gamma}}=\frac{r_1\sin\gamma}{r_2\sin\beta}.$$

Zatim primijenimo poučak o sinusu i omjer (*):

$$\frac xy=\frac{r_1\sin\gamma}{r_2\sin\beta}=\frac{r_1\cdot c}{r_2\cdot b}=\frac{r_1}{r_2}\cdot\frac14=2\cdot\frac14=\frac12.$$

Dakle, točka $D$ dijeli stranicu $a$ u omjeru $1:2$.