6. Zadatak

Površina jedne latice početnog cvjetića je dvostruka površina kružnog odsječka od četvrtine kruga:

$$P_{\mathrm{lat}}=2\left(\frac{r_1^2\pi}{4}-\frac{r_1^2}{2}\right)=\frac{r_1^2}{2}(\pi-2).$$

Površina početnog cvjetića je

$$P_1=4P_{\mathrm{lat}}=2r_1^2(\pi-2)=2(\pi-2).$$

Trokut $VSA_1$ je pravokutan, pa je $\angle VA_1S=90^\circ-\frac\alpha2$, a kut $\angle A_2A_1C_1=90^\circ-\frac\alpha2-45^\circ=45^\circ-\frac\alpha2$.

Analogno zaključujemo i za niz kutova u pravokutnim trokutima koji slijede:

$$\angle A_3A_2C_2=\angle A_4A_3C_3=\cdots=45^\circ-\frac\alpha2.$$

Stoga su trokuti $\triangle A_2A_1C_1$, $\triangle A_3A_2C_2$, $\triangle A_4A_3C_3,\ldots$ slični s koeficijentom sličnosti

$$\frac{2r_2}{2r_1}=\frac{r_2}{r_1}<1.$$

Ako su svi polumjeri latica u omjeru $\frac{r_2}{r_1}<1$, njihove su površine u omjeru

$$q=\left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2.$$

To znači da površine cvjetića čine geometrijski red s kvocijentom $q<1$ čiji je zbroj

$$P=\frac{P_1}{1-q}.$$

Tada je

$$3(\pi-2)=\frac{2(\pi-2)}{1-q}\Rightarrow1-q=\frac23\Rightarrow q=\frac13.$$

Iz pravokutnog trokuta $A_2A_1C_1$ imamo:

$$\tan\left(45^\circ-\frac\alpha2\right)=\frac{2r_2}{2r_1}=\frac{r_2}{r_1}=\sqrt q=\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}.$$ $$45^\circ-\frac\alpha2=30^\circ\Rightarrow\alpha=30^\circ.$$