2. Zadatak

Prvo rješenje.

Izraz predstavlja zbroj geometrijskog niza kod kojeg je $a_1=1$, $q=a+1$.

$$1+(a+1)+(a+1)^2+(a+1)^3+\cdots+(a+1)^{2017}=\frac{(a+1)^{2018}-1}{a}.$$

Koeficijent uz $a^4$ bit će onaj koji u izrazu $(a+1)^{2018}$ stoji uz $a^5$, a to je

$$\binom{2018}{2017-4}=\binom{2018}{2013}=\binom{2018}{5}.$$

Drugo rješenje.

Koeficijenti uz $a^4$ se pojavljuju u izrazima $(a+1)^4,(a+1)^5,\ldots,(a+1)^{2017}$ i to su redom brojevi:

$$\binom40,\binom51,\binom62,\ldots,\binom{2017}{2013}.$$

Koristeći svojstvo

$$\binom n{k-1}+\binom nk=\binom{n+1}k$$

računamo traženi zbroj. Pritom na početku primijenimo $\binom40=\binom50$.

$$\begin{aligned} \binom50+\binom51+\binom62+\binom73+\binom84+\cdots+\binom{2016}{2012}+\binom{2017}{2013} &=\binom61+\binom61+\binom72+\binom83+\cdots+\binom{2016}{2012}+\binom{2017}{2013}\\ &=\binom71+\binom72+\binom83+\cdots+\binom{2016}{2012}+\binom{2017}{2013}\\ &=\cdots\\ &=\binom{2016}{2011}+\binom{2016}{2012}+\binom{2017}{2013}\\ &=\binom{2017}{2012}+\binom{2017}{2013}\\ &=\binom{2018}{2013}. \end{aligned}$$

Traženi je zbroj jednak $\binom{2018}{2013}$ ili $\binom{2018}{5}$.

Treće rješenje.

Učenici su mogli promatrati Pascalov trokut i uočiti da je traženi zbroj jednak zbroju binomnih koeficijenata koji su na dijagonali u Pascalovom trokutu:

$$\binom40+\binom51+\binom62+\cdots+\binom{2017}{2013}=1+5+15+35+70+126+\cdots+\binom{2017}{2013}.$$

Uočavamo da je zbroj prvih $k$ danih koeficijenata na označenoj dijagonali jednak $k$-tom koeficijentu u sljedećem redu Pascalovog trokuta, što je posljedica svojstva zbrajanja binomnih koeficijenata. Iz toga se lako zaključuje da je traženi zbroj jednak $\binom{2018}{2013}$ ili $\binom{2018}{5}$.