7. Zadatak

Uvrstimo $z=x+yi$ u $|z|=\operatorname{Im}(z+2i)$. Tada je

$$\sqrt{x^2+y^2}=\operatorname{Im}(x+yi+2i)$$

pa slijedi

$$x^2+y^2=(y+2)^2$$

odnosno

$$x^2=4y+4.$$

Dakle, skup točaka koje zadovoljavaju dani uvjet leže na paraboli

$$y=\frac14x^2-1.$$

Odredimo koje su točke $T(x,y)=\left(x,\frac14x^2-1\right)$ na paraboli najbliže točki $P\left(0,\frac32\right)$.

Udaljenost točke $T$ od točke $P$ je

$$\begin{aligned} d&=\sqrt{x^2+\left(\frac14x^2-\frac32-1\right)^2}\\ &=\sqrt{x^2+\left(\frac14x^2-\frac52\right)^2}\\ &=\sqrt{\frac1{16}x^4-\frac14x^2+\frac{25}{4}}. \end{aligned}$$

Tražimo $x$ za koji funkcija

$$f(x)=\frac1{16}x^4-\frac14x^2+\frac{25}{4}$$

poprima najmanju vrijednost.

$$x^2=-\frac b{2a}=2,\qquad x=\pm\sqrt2.$$ $$y=\frac14x^2-1=-\frac12.$$

Točke parabole najbliže točki $P$ su

$$A\left(\sqrt2,-\frac12\right)\qquad\text{i}\qquad B\left(-\sqrt2,-\frac12\right).$$ $$|AB|=2\sqrt2,\qquad v=|y_P-y_A|=2.$$

Zato je površina trokuta

$$P=\frac{|AB|\cdot v}{2}=2\sqrt2.$$