3. Zadatak

Opći član možemo prikazati u sljedećem obliku:

$$\begin{aligned} a_n&=n^4-360n^2+400\\ &=(n^4+40n^2+400)-400n^2\\ &=(n^2+20)^2-(20n)^2\\ &=(n^2-20n+20)(n^2+20n+20). \end{aligned}$$

Ovaj izraz će biti prost broj jedino ako je jedna od zagrada za neki prirodan broj $n$ jednaka jedan, a druga je za taj isti $n$ jednaka nekom prostom broju.

Ako je $n^2-20n+20=1$, onda je $n^2-20n+19=0$. Ta jednadžba ima dva pozitivna rješenja, $n=1$ i $n=19$.

Za $n=1$ izraz $n^2+20n+20=1+20+20=41$, a to je prost broj.

Za $n=19$ izraz $n^2+20n+20=19^2+20\cdot19+20=761$, a to je prost broj.

Ako je $n^2+20n+20=1$, onda je $n^2+20n+19=0$. Ta jednadžba ima negativna rješenja, pa su jedini prosti članovi niza 41 i 761. Njihov je zbroj 802.