4. Zadatak

Neka su duljine stranica i veličine kutova označene kao na slici:

Budući da trokut $ADM$ i četverokut $ABCM$ imaju jednake opsege vrijedi da je

$$d+y+x=c-y+x+a+b,$$ $$\Longrightarrow 2y=a+b+c-d.\tag{$\star$}$$

Iz činjenice da trokut $ADM$ i četverokut $ABCM$ imaju jednake površine slijedi da svaki ima pola površine četverokuta $ABCD$:

$$P_{AMD}=\frac12P_{ABCD}=\frac12(P_{ABC}+P_{ACD}),$$ $$\frac{yd\sin\delta}{2}=\frac12\left(\frac{ab\sin\beta}{2}+\frac{cd\sin\delta}{2}\right).\tag{$\star\star$}$$

Kako su $\beta$ i $\delta$ obodni kutovi s različitih strana nad tetivom $\overline{AC}$ vrijedi da je $\beta+\delta=180^\circ$, odnosno $\sin\beta=\sin(180^\circ-\delta)=\sin\delta$.

Jednakost $(\star\star)$ prelazi redom u

$$\frac{yd\sin\delta}{2}=\frac12\left(\frac{ab\sin\delta}{2}+\frac{cd\sin\delta}{2}\right)\quad/:\sin\delta,$$ $$\frac{yd}{2}=\frac12\left(\frac{ab}{2}+\frac{cd}{2}\right),$$ $$\frac{yd}{2}=\frac{ab}{4}+\frac{cd}{4}\quad/\cdot4,$$ $$2yd=ab+cd.$$

Primjenom jednakosti $(\star)$ imamo:

$$\begin{aligned} (a+b+c-d)d&=ab+cd,\\ ad+bd+cd-d^2&=ab+cd,\\ d^2-ad-bd+ab&=0,\\ d(d-a)-b(d-a)&=0,\\ (d-a)(d-b)&=0. \end{aligned}$$

Znači, ili je $d=a$ ili je $d=b$ ili oboje, čime je tvrdnja dokazana.