3. Zadatak

Prvo rješenje.

Iz druge jednadžbe zadanog sustava slijedi da je

$$|x|+|y|-4=-1\quad\text{ili}\quad |x|+|y|-4=1,$$

odnosno $|x|=3-|y|$ ili $|x|=5-|y|$. Uočimo da iz $|x|\geq0$ u prvom slučaju slijedi $|y|\leq3$, a u drugom slučaju $|y|\leq5$.

Budući da je $x^2=|x|^2$, nakon što uvrstimo dobivene izraze za $|x|$ u prvu jednadžbu danog sustava slijedi da je

$$(3-|y|)^2+3y=9\quad\text{ili}\quad(5-|y|)^2+3y=9.$$

Riješimo prvo jednadžbu $(3-|y|)^2+3y=9$, pri čemu je $|y|\leq3$.

Ako je $y\leq0$, tada je $|y|=-y$, pa ova jednadžba nakon sređivanja prelazi u $y^2+9y=0$ čija rješenja su $0$ i $-9$. No, kako je $|y|\leq3$, jedino moguće rješenje je $y=0$. Tada je $|x|=3$, odnosno $x=-3$ ili $x=3$ pa dobivamo dva rješenja početnog sustava: $(-3,0)$ i $(3,0)$.

Ako je $y>0$ tada je $|y|=y$ pa jednadžba $(3-|y|)^2+3y=9$ nakon sređivanja prelazi u $y^2-3y=0$ čija su rješenja $0$ i $3$. Budući da je $y>0$, rješenje je $y=3$. Slijedi da je $|x|=0$, pa je $(0,3)$ jedno rješenje početnog sustava.

Riješimo drugi slučaj, odnosno jednadžbu $(5-|y|)^2+3y=9$, pri čemu je $|y|\leq5$.

Ako je $y\leq0$ tada prethodna jednadžba prelazi u $y^2+13y+16=0$ čija su rješenja $y_{1,2}=\frac{-13\pm\sqrt{105}}2$, od kojih je jedino moguće rješenje $\frac{-13+\sqrt{105}}2$. Tada je $|x|=5-|y|=\frac{-3+\sqrt{105}}2$, odnosno $x=\frac{-3+\sqrt{105}}2$ ili $x=\frac{3-\sqrt{105}}2$ pa dobivamo dva rješenja $(x,y)$ početnog sustava.

Ako je $y>0$, jednadžba $(5-|y|)^2+3y=9$ prelazi u jedndadžbu $y^2-7y+16=0$ koja nema realnih rješenja.

Konačno, postoji ukupno $5$ uređenih parova $(x,y)$ realnih brojeva koji su rješenja zadanog sustava jednadžbi.

Drugo rješenje.

Kao i u prvom rješenju iz druge jednadžbe zadanog sustava slijedi da je

$$|x|+|y|-4=-1\quad\text{ili}\quad |x|+|y|-4=1.$$

Dakle, dani sustav svodimo na dva nova sustava jednadžbi:

$$\begin{cases} y=-\frac13x^2+3,\\ |x|+|y|=3 \end{cases} \qquad\text{i}\qquad \begin{cases} y=-\frac13x^2+3,\\ |x|+|y|=5. \end{cases}$$

Budući da je $|x|\geq0$ i $|y|\geq0$, iz druge jednadžbe kod prvog sustava proizlazi da je $|x|\leq3$, $|y|\leq3$, a kod drugog sustava da je $|x|\leq5$, $|y|\leq5$.

Ove ćemo sustave riješiti grafički tako da ćemo prikazati grafički obje jednadžbe u koordinatnom sustavu i odrediti u koliko se točaka ti prikazi sijeku.

Iz druge jednadžbe sustava

$$\begin{cases} y=-\frac13x^2+3,\\ |x|+|y|=3 \end{cases}$$

slijedi $|y|=3-|x|$, odnosno imamo dvije mogućnosti za $y$: $y=3-|x|$ ili $y=-3+|x|$. Dakle, crtamo parabolu $y=-\frac13x^2+3$ i grafove funkcija apsolutne vrijednosti $y=3-|x|$ ili $y=-3+|x|$, pri čemu je $|x|\leq3$, $|y|\leq3$.

Navedeni su grafovi prikazani na slici:

Nacrtani se grafovi sijeku u $3$ točke.

Nacrtajmo i grafove određene sustavom

$$\begin{cases} y=-\frac13x^2+3,\\ |x|+|y|=5 \end{cases},$$

odnosno parabolu $y=-\frac13x^2+3$ i grafove funkcija apsolutne vrijednosti $y=5-|x|$ ili $y=-5+|x|$, pri čemu je $|x|\leq5$, $|y|\leq5$.

Nacrtani se grafovi sijeku u $2$ točke, pa je ukupno $5$ traženih uređenih parova $(x,y)$ odnosno $5$ rješenja zadanog sustava jednadžbi.