5. Zadatak

Ako broj $n$ ima $k$ znamenki, vrijedi da je $10^{k-1}\leq n<10^k$ i $s(n)\leq9k$. Tada iz $n\geq10^{k-1}$ slijedi

$$2024=n-3s(n)\geq10^{k-1}-3s(n)\geq10^{k-1}-27k.$$

Za $k=5$ dobili bismo $2024\geq9865$, a očito i za $k>5$ je na desnoj strani broj veći od $2024$. Zaključujemo da je $k<5$, odnosno broj znamenaka broja $n$ mora biti manji od $5$.

Broj $n=3s(n)+2024$ je očito veći od $2024$, dakle ne može biti troznamenkast. Slijedi da je $k=4$.

Budući da je $2024<n\leq2024+3\cdot9\cdot4=2132$, zaključujemo da je prva znamenka broja $n$ jednaka $2$. Također vidimo da druga znamenka može biti jedino $0$ ili $1$.

Ako je druga znamenka $0$, broj $n$ možemo zapisati kao $n=\overline{20ab}$, gdje su $a$ i $b$ neke znamenke. Iz zadane jednadžbe slijedi:

$$2000+10a+b-3(2+a+b)=2024,$$

odnosno

$$7a-2b=30.$$

Očito $a$ mora biti parna znamenka. Direktnom provjerom dobivamo da je jedina mogućnost $a=6$. Slijedi da je $b=6$. Stoga je jedno rješenje zadane jednadžbe broj $n=2066$.

Ako je druga znamenka $1$, vrijedi $n=\overline{21ab}$. Iz zadane jednadžbe slijedi:

$$2100+10a+b-3(2+1+a+b)=2024,$$

odnosno

$$2b-7a=67.$$

Očito $a$ mora biti neparna znamenka. Direktnom provjerom dobivamo da ova jednadžba nema rješenja.

Dakle, jedino rješenje zadane jednadžbe je broj $2066$.