2. Zadatak

Prvo rješenje.

Broj $\overline{22\ldots22}$ zapišimo kao $2\cdot\overline{11\ldots11}$, s $1012$ jedinica, a broj $\overline{11\ldots11}$ s $2024$ jedinice zapišimo kao $\overline{11\ldots1100\ldots00}+\overline{11\ldots11}$ pri čemu je u prvom broju $1012$ jedinica i $1012$ nula, a u drugom je $1012$ jedinica.

Tada redom slijedi:

$$\begin{aligned} \sqrt{\overline{11\ldots11}-\overline{22\ldots22}} &=\sqrt{\overline{11\ldots1100\ldots00}+\overline{11\ldots11}-2\cdot\overline{11\ldots11}}\\ &=\sqrt{\overline{11\ldots1100\ldots00}-\overline{11\ldots11}}\quad(1012\text{ jedinica i }1012\text{ nula})\\ &=\sqrt{\overline{11\ldots11}\cdot10^{1012}-\overline{11\ldots11}}\\ &=\sqrt{\overline{11\ldots11}\cdot(10^{1012}-1)}\\ &=\sqrt{\overline{11\ldots11}\cdot\overline{99\ldots99}}\quad(1012\text{ jedinica i }1012\text{ devetki})\\ &=\sqrt{\overline{11\ldots11}\cdot9\cdot\overline{11\ldots11}}\\ &=3\cdot\overline{11\ldots11}=\overline{33\ldots33}\quad(1012\text{ trojki}), \end{aligned}$$

što je i trebalo dobiti.

Drugo rješenje.

Za broj koji se sastoji od $2024$ jedinice vrijedi

$$\overline{11\ldots11}=\frac{\overline{99\ldots99}}9=\frac{10^{2024}-1}{9}.$$

Analogno, za brojeve koji se sastoje od $1012$ dvojki, odnosno trojki, vrijedi:

$$\overline{22\ldots22}=2\cdot\frac{\overline{99\ldots99}}9=2\cdot\frac{10^{1012}-1}{9},$$ $$\overline{33\ldots33}=3\cdot\frac{\overline{99\ldots99}}9=3\cdot\frac{10^{1012}-1}{9}=\frac{10^{1012}-1}{3}.$$

Tada redom slijedi:

$$\begin{aligned} \sqrt{\overline{11\ldots11}-\overline{22\ldots22}} &=\sqrt{\frac{10^{2024}-1}{9}-2\cdot\frac{10^{1012}-1}{9}}\\ &=\sqrt{\frac{10^{2024}-1-2\cdot10^{1012}+2}{9}} =\sqrt{\frac{10^{2024}-2\cdot10^{1012}+1}{9}}\\ &=\sqrt{\frac{(10^{1012}-1)^2}{9}} =\frac{10^{1012}-1}{3}=\overline{33\ldots33}. \end{aligned}$$

Time je dana tvrdnja dokazana.