6. Zadatak

Prvo rješenje.

Množimo li jednadžbu s $(z^2-1)^2$, dobivamo

$$z^2(z-1)^2+z^2(z+1)^2=-(z^2-1)^2,$$

odnosno, nakon sređivanja,

$$z^4=-\frac13.$$

Rješenja su svi kompleksni brojevi $z$ za koje vrijedi

$$z^4=\frac13(\cos\pi+i\sin\pi),$$

pa je

$$z_k=\frac{\sqrt[4]{27}}3 \left(\cos\frac{\pi+2k\pi}{4}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{4}\right), \qquad k=0,1,2,3.$$

Brojevi $z_0,z_1,z_2,z_3$ su vrhovi kvadrata u kompleksnoj ravnini koji leže na kružnici polumjera

$$r=\frac{\sqrt[4]{27}}3.$$

Površina dobivenog kvadrata je

$$P=\frac{d^2}{2}=\frac{(2r)^2}{2}=2r^2 =2\left(\frac{\sqrt[4]{27}}3\right)^2 =\frac{2\sqrt3}{3}.$$

Drugo rješenje.

Vrijedi

$$\left(\frac{z}{z+1}\right)^2+\left(\frac{z}{z-1}\right)^2=-1.$$

Stoga

$$\left(\frac{z}{z+1}+\frac{z}{z-1}\right)^2 -2\frac{z^2}{z^2-1}+1=0,$$ $$\left(\frac{2z^2}{z^2-1}\right)^2-2\frac{z^2}{z^2-1}+1=0.$$

Neka je $t=\frac{2z^2}{z^2-1}$. Tada je $t^2-t+1=0$. Rješenja te jednadžbe su

$$t_1=\frac{1+i\sqrt3}{2},\qquad t_2=\frac{1-i\sqrt3}{2}.$$

Pa je

$$\frac{2z^2}{z^2-1}=\frac{1+i\sqrt3}{2} \quad\Longrightarrow\quad z^2=-\frac{\sqrt3}{3}i,$$ $$\frac{2z^2}{z^2-1}=\frac{1-i\sqrt3}{2} \quad\Longrightarrow\quad z^2=\frac{\sqrt3}{3}i.$$

Sada koristeći trigonometrijski prikaz dobivamo

$$z^2=\frac{\sqrt3}{3}\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right),$$ $$z^2=\frac{\sqrt3}{3}\left(\cos\frac\pi2+i\sin\frac\pi2\right).$$

Rješenja jednadžbe su stoga

$$z_{1,2}=\frac{\sqrt[4]{27}}3 \left(\cos\frac{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}{2} +i\sin\frac{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}{2}\right),$$ $$z_{3,4}=\frac{\sqrt[4]{27}}3 \left(\cos\frac{\frac\pi2+2k\pi}{2} +i\sin\frac{\frac\pi2+2k\pi}{2}\right).$$

Odnosno,

$$z_1=\frac{\sqrt[4]{27}}3 \left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right) =\frac{\sqrt[4]{27}}3\left(-\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i\right),$$ $$z_2=\frac{\sqrt[4]{27}}3 \left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right) =\frac{\sqrt[4]{27}}3\left(\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}i\right),$$ $$z_3=\frac{\sqrt[4]{27}}3 \left(\cos\frac\pi4+i\sin\frac\pi4\right) =\frac{\sqrt[4]{27}}3\left(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i\right),$$ $$z_4=\frac{\sqrt[4]{27}}3 \left(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right) =\frac{\sqrt[4]{27}}3\left(-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}i\right).$$

Uočimo da su točke pridružene brojevima $z_1,z_2,z_3,z_4$ vrhovi kvadrata koji leže na kružnici polumjera $r=\frac{\sqrt[4]{27}}3$. Površina dobivenog kvadrata je

$$P=\frac{d^2}{2}=\frac{(2r)^2}{2}=2r^2 =2\left(\frac{\sqrt[4]{27}}3\right)^2=\frac{2\sqrt3}{3}.$$

Napomena. Do iste smo površine mogli doći i pomoću formule $P=a^2$. U tom je slučaju

$$a=\frac{\sqrt2}{2}d=\frac{\sqrt2}{2}\cdot2r=r\sqrt2=\frac{\sqrt[4]{27}}3\sqrt2.$$