5. Zadatak

Zapišimo danu jednakost u obliku

$$5(p^3+p-2)=8q.$$

Zaključujemo da $q$ mora biti djeljiv s $5$, a kako je $5$ jedini prost broj djeljiv s $5$, nužno je $q=5$.

Sada je $5(p^3+p-2)=40$, odnosno

$$p^3+p-10=0.$$

Ako polinom s lijeve strane jednakosti ima cjelobrojne nultočke, one moraju biti među djeliteljima slobodnog člana, odnosno neki od brojeva $\pm1,\pm2,\pm5,\pm10$. Kako je $p$ prost broj, jedine su mogućnosti $p=2$ ili $p=5$. Jednostavnom provjerom slijedi $p=2$.

Dakle, brojevi $p=2$ i $q=5$ jedini su prosti brojevi za koje vrijedi dana jednakost.

Napomena. Zadnja tri boda učenik može dobiti i koristeći rastav polinoma na faktore:

$$(p-2)(p^2+2p+5)=0.$$

Kako jednadžba $p^2+2p+5$ nema rješenja u skupu prostih brojeva, jedina je mogućnost da je $p=2$.