7. Zadatak

Prvo rješenje.

Uvjet za rješenje zadatka je $x\ne1$. Prebacimo sve članove dane nejednadžbe na lijevu stranu:

$$\log_x^4 2017-4\cdot\log_x^3 2017+6\cdot\log_x^2 2017-4\cdot\log_x 2017>0.$$

Ako dodamo $1$ na obje strane nejednadžbe, dobit ćemo na lijevoj strani razvoj četvrte potencije binoma:

$$\log_x^4 2017-4\cdot\log_x^3 2017+6\cdot\log_x^2 2017-4\cdot\log_x 2017+1>1.$$

Tada početna nejednadžba prelazi u

$$(\log_x2017-1)^4>1.$$

Ova je nejednadžba ekvivalentna nejednadžbi

$$(\log_x2017-1)^2>1.$$

Slijedi

$$|\log_x2017-1|>1$$ $$\Longleftrightarrow\quad \log_x2017-1<-1\ \text{ili}\ \log_x2017-1>1$$ $$\Longleftrightarrow\quad \log_x2017<0\ \text{ili}\ \log_x2017>2.$$

Kako je baza $x>1$, $\log_x2017$ je pozitivan broj te je jedina mogućnost $\log_x2017>2$. Slijedi

$$2017>x^2\quad\Longrightarrow\quad |x|<\sqrt{2017}.$$

Kako je $x>1$, slijedi $x<\sqrt{2017}$. Prirodni brojevi koji su rješenje dane nejednadžbe su svi prirodni brojevi veći od $1$, a manji od $\sqrt{2017}$, odnosno

$$x\in\{2,3,4,5,6,\ldots,44\}.$$

Drugo rješenje.

Uvjet za rješenje zadatka je $x\ne1$. Uvedimo supstituciju $t=\log_x2017$. Uočimo da je broj $t$ uvijek pozitivan jer je $x$ prirodan broj veći od $1$ (logaritam broja većeg od $1$, po bazi većoj od $1$, uvijek je pozitivan).

Početna nejednadžba prelazi u

$$\begin{aligned} t^4+6t^2&>4t^3+4t\\ \Longleftrightarrow\quad t^4-4t^3+6t^2-4t&>0\\ \Longleftrightarrow\quad t(t^3-4t^2+6t-4)&>0\\ \Longleftrightarrow\quad t(t^3-2t^2-2t^2+4t+2t-4)&>0\\ \Longleftrightarrow\quad t\bigl(t^2(t-2)-2t(t-2)+2(t-2)\bigr)&>0\\ \Longleftrightarrow\quad t(t-2)(t^2-2t+2)&>0. \end{aligned}$$

Trinom $t^2-2t+2$ ima pozitivnu vrijednost za sve realne brojeve $t$. Ranije smo uočili da i broj $t$ ima uvijek pozitivnu vrijednost. Stoga je posljednja nejednakost ekvivalentna s

$$t-2>0\quad\Longleftrightarrow\quad t>2.$$

Tada je $\log_x2017>2$, što uz uvjet $x>1$ daje $2017>x^2$. Slijedi $|x|<\sqrt{2017}$, što opet zbog $x>1$ daje $x<\sqrt{2017}$.

Rješenja su brojevi

$$x\in\{2,3,4,5,6,\ldots,44\}.$$

Napomena. Ako je učenik na početku zaboravio napisati uvjet $x\ne1$, ali je u rješenju izostavio broj $1$, ne treba oduzimati bod za nenapisani uvjet. Učenik može i u prvom ponuđenom rješenju koristiti supstituciju te koristeći razliku kvadrata doći do rastava na faktore kao u drugom rješenju. U svakom slučaju svođenje početne nejednadžbe na $\log_x2017>2$ vrijedi $6$ bodova, a njezino rješavanje i konačno rješenje zadatka $4$ boda.