3. Zadatak

Prvo rješenje.

Vrijedi $4\alpha+4\beta=360^\circ$, odnosno

$$\alpha+\beta=90^\circ.$$

Po poučku o kosinusu vrijedi

$$\cos\beta=\frac{7.5^2+7.5^2-9^2}{2\cdot7.5\cdot7.5}=\frac7{25},$$ $$\sin\beta=\cos\alpha=\sqrt{1-\left(\frac7{25}\right)^2}=\frac{24}{25}.$$

Površina danog osmerokuta je četiri površine jednakokračnog trokuta s osnovicom duljine $9$ i četiri površine jednakokračnog trokuta s osnovicom duljine $x$:

$$\begin{aligned} P&=4\cdot\frac12(r^2\sin\alpha+r^2\sin\beta)\\ &=2r^2(\cos\beta+\sin\beta)\\ &=2\cdot7.5^2\left(\frac7{25}+\frac{24}{25}\right) =\frac{225}{2}\cdot\frac{31}{25}=\frac{279}{2}. \end{aligned}$$

Duljinu nepoznate stranice možemo također izračunati po poučku o kosinusu:

$$x^2=7.5^2+7.5^2-2\cdot7.5\cdot7.5\cos\alpha=\frac92,$$ $$x=\frac{3\sqrt2}{2}\,\mathrm m.$$

Drugo rješenje.

Uočimo da vrijede sljedeće jednakosti:

$$\sin\frac\alpha2=\frac{x}{15}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} \quad\Longrightarrow\quad \cos\alpha=\frac{225-2x^2}{225},$$ $$\sin\frac\beta2=\frac3{5}=\sqrt{\frac{1-\cos\beta}{2}} \quad\Longrightarrow\quad \cos\beta=\frac7{25}.$$

Budući da je $4\alpha+4\beta=360^\circ$, vrijedi $\alpha+\beta=90^\circ$, pa je $\cos\beta=\sin\alpha$. Kako je $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, slijedi

$$\left(\frac7{25}\right)^2+\left(\frac{225-2x^2}{225}\right)^2=1,$$ $$\left(\frac{225-2x^2}{225}\right)^2=\left(\frac{24}{25}\right)^2,$$ $$\frac{225-2x^2}{225}=\frac{24}{25},$$ $$225-2x^2=216 \quad\Longrightarrow\quad x^2=\frac92 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{3\sqrt2}{2}.$$

Površinu bazena računamo kao i u prvom rješenju ili koristeći visine danih trokuta. U tom su slučaju visine danih trokuta $v_1=6$, $v_2=\frac{21\sqrt2}{4}$, a odgovarajuće površine

$$P_1=27,\qquad P_2=\frac{63}{8},$$ $$P=4\left(27+\frac{63}{8}\right)=\frac{279}{2}.$$