5. Zadatak
U računalnoj igri nalazi se magični cvjetnjak u kojemu su cvijeta. Igrač u svakome potezu može iz cvjetnjaka ubrati , ili cvjetova. Ako igrač ubere cvijeta, prije sljedećega poteza u cvjetnjaku naraste novi cvijet, ako ih ubere , narastu nova cvijeta, a ako ih ubere , narastu nova cvijeta. Novi cvjetovi neće narasti ako igrač u posljednjem potezu uspije ubrati sve cvjetove iz cvjetnjaka.
Može li igrač ubrati sve cvjetove iz cvjetnjaka? Obrazloži odgovor.
Prvo rješenje.
Ako igrač ubere cvijeta, pri sljedećem su potezu u cvjetnjaku cvijeta manje.
Ako igrač ubere cvjetova, pri sljedećem je potezu u cvjetnjaku cvjetova manje.
Ako igrač ubere cvjetova, pri sljedećem je potezu u cvjetnjaku također cvjetova manje.
Ako igrač puta ubere cvijeta, puta cvjetova, a puta cvjetova, prije sljedećega poteza u cvjetnjaku preostaje cvjetova.
Igrač će uspjeti ubrati sve cvjetove ukoliko prije posljednjega poteza u cvjetnjaku preostane , ili cvjetova.
1. mogućnost:
Budući da broj nije djeljiv s , prije posljednjega poteza ne mogu preostati cvijeta.
2. mogućnost:
Budući da broj nije djeljiv s , prije posljednjega poteza ne može preostati cvjetova.
3. mogućnost:
Budući da broj također nije djeljiv s , prije posljednjega poteza ne može preostati cvjetova.
Prema tome, igrač nikada neće moći ubrati sve cvjetove iz cvjetnjaka.
Drugo rješenje.
Ako igrač ubere cvijeta, pri sljedećem su potezu u cvjetnjaku cvijeta manje.
Ako igrač ubere cvjetova, pri sljedećem je potezu u cvjetnjaku cvjetova manje.
Ako igrač ubere cvjetova, pri sljedećem je potezu u cvjetnjaku također cvjetova manje.
Uočimo da se broj cvjetova u cvjetnjaku prije novoga poteza uvijek umanji za višekratnik broja .
Broj pri dijeljenju s brojem daje ostatak .
Budući se nakon svakoga poteza (osim posljednjega ako je moguć) broj cvjetova umanji za višekratnik broja , broj preostalih cvjetova u cvjetnjaku prije novoga poteza uvijek će biti broj koji pri dijeljenju s brojem daje ostatak .
Broj nema ostatak pri dijeljenju s brojem , dok brojevi i pri dijeljenju s brojem daju ostatak .
Nemoguće je da prije posljednjega poteza u cvjetnjaku preostane , ili cvjetova jer niti jedan od tih brojeva pri dijeljenju s ne daje ostatak . Prema tome, igrač nikada neće uspjeti ubrati sve cvjetove iz cvjetnjaka.
Treće rješenje.
Ako igrač ubere cvijeta, pri sljedećem su potezu u cvjetnjaku cvijeta manje.
Ako igrač ubere cvjetova, pri sljedećem je potezu u cvjetnjaku cvjetova manje.
Ako igrač ubere cvjetova, pri sljedećem je potezu u cvjetnjaku također cvjetova manje.
Uočimo da se broj cvjetova u cvjetnjaku prije novoga poteza uvijek umanji za višekratnik broja .
U slučaju da igrač može ubrati sve cvjetove iz cvjetnjaka, u posljednjem potezu mora ubrati točno , ili cvjetova.
Da bi igrač u posljednjem potezu mogao ubrati cvijeta, broj cvjetova u cvjetnjaku ukupno se trebao smanjiti za , no to nije moguće jer broj nije višekratnik broja .
Da bi igrač u posljednjem potezu mogao ubrati cvjetova, broj cvjetova u cvjetnjaku ukupno se trebao smanjiti za , no to nije moguće jer broj također nije višekratnik broja .
Da bi igrač u posljednjem potezu mogao ubrati cvjetova, broj cvjetova u cvjetnjaku ukupno se trebao smanjiti za , no ni to nije moguće jer ni broj nije višekratnik broja .
Prema tome, igrač nikada neće uspjeti ubrati sve cvjetove iz cvjetnjaka.