7. Zadatak

Na slici je prikazan paralelogram $ABCD$ čija je kraća stranica $\overline{AB}$ duljine $2$ cm, a duljina visine na tu stranicu iznosi $12$ cm. Vrhom $D$ paralelograma prolazi pravac $p$ koji je okomit na pravac $CD$ , a sa stranicom $\overline{AD}$ zatvara kut $\alpha$ tako da vrijedi $\sin\alpha=\dfrac35$ .

Paralelogram ABCD i pravac p

Odredi obujam tijela nastaloga rotacijom paralelograma $ABCD$ oko pravca $p$ .

Prvo rješenje.

Rotacijom paralelograma oko pravca $p$ nastaje šuplji krnji stožac, odnosno krnji stožac sa šupljinom oblika stošca. Na skici je prikazan osni presjek tog krnjeg stošca.

Osni presjek šupljeg krnjeg stošca u prvom rješenju

Neka je točka $E$ sjecište pravca $p$ i pravca $BC$ , a točka $S$ pravca $p$ i pravca $AB$ .

Promotrimo pravokutni trokut $ADS$ .

Uočimo najprije da vrijedi $|DS|=12$ cm.

Uz oznake kao na skici vrijedi da je $\sin\alpha=\dfrac{r}{b}=\dfrac35$ , odnosno $r=\dfrac35b$ .

Primjenom Pitagorina poučka na taj trokut možemo odrediti $r$ i $b$ .

12^2=b^2-r^2=b^2-\left(\frac35b\right)^2=\frac{16}{25}b^2

pa je $b=15$ cm.

Slijedi da je $r=\dfrac35b=9$ cm.

Kako bismo izračunali obujam dobivenoga rotacijskoga tijela, od obujma stošca radijusa baze $|BS|=r+2=11$ cm trebamo oduzeti obujam maloga stošca (dopunjka) radijusa baze $|CD|=2$ cm i obujam šupljine radijusa baze $|AS|=r=9$ cm.

Za izračunavanje volumena potrebno je još odrediti visine sva tri stošca.

Primijetimo da su $\angle SDA$ i $\angle DEC$ kutovi s paralelnim kracima, što znači da je $\angle DEC=\alpha$ .

U trokutu $CED$ tada vrijedi da je $\sin\alpha=\dfrac{2}{|CE|}=\dfrac35$ , odnosno $|CE|=\dfrac{10}{3}$ cm.

Slijedi da je

|DE|=\sqrt{\left(\frac{10}{3}\right)^2-2^2}=\sqrt{\frac{64}{9}}=\frac83\ \mathrm{cm}

i $|SE|=12+\dfrac83=\dfrac{44}{3}$ cm.

Izračunajmo volumen velikoga stošca i volumen maloga stošca (dopunjka).

V_{\text{stožac}}=\frac13\cdot11^2\pi\cdot\frac{44}{3}=\frac{5324}{9}\pi\ \mathrm{cm}^3

V_{\text{dopunjak}}=\frac13\cdot2^2\pi\cdot\frac83=\frac{32}{9}\pi\ \mathrm{cm}^3.

Volumen šupljine iznosi

V_{\text{šupljina}}=\frac13\cdot9^2\pi\cdot12=324\pi\ \mathrm{cm}^3.

Konačno, volumen traženoga rotacijskog tijela iznosi:

V=V_{\text{stožac}}-V_{\text{dopunjak}}-V_{\text{šupljina}}=264\pi\ \mathrm{cm}^3.

Drugo rješenje.

Rotacijom paralelograma oko pravca $p$ nastaje šuplji krnji stožac, odnosno krnji stožac sa šupljinom oblika stošca. Na skici je prikazan osni presjek tog krnjeg stošca.

Osni presjek šupljeg krnjeg stošca u drugom rješenju

Neka je točka $S$ sjecište pravca $p$ i pravca $AB$ . Promotrimo pravokutni trokut $ADS$ .

Za kut $\alpha$ toga trokuta vrijedi da je $\sin\alpha=\dfrac35$ .

Slijedi da je $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\dfrac9{25}+\cos^2\alpha=1$ , odnosno $\cos^2\alpha=\dfrac{16}{25}$ .

Budući je $\alpha$ šiljasti kut, zaključujemo da je $\cos\alpha=\dfrac45$ .

Nadalje, vrijedi da je $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac34$ .

Uočimo da vrijedi $|DS|=12$ cm iz čega slijedi da je $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{r}{12}=\dfrac34$ , odnosno vrijedi da je $r=9$ cm.

Kako bismo izračunali obujam dobivenoga rotacijskoga tijela, od obujma krnjega stošca radijusa veće baze $|BS|=r+2=11$ cm i radijusa manje baze $|CD|=2$ cm trebamo oduzeti obujam šupljine radijusa baze $|AS|=r=9$ cm.

Volumen krnjega stošca radijusa baza $r_1$ i $r_2$ dan je formulom

V=\frac{\pi h}{3}(r_1^2+r_1r_2+r_2^2),

pri čemu je $h$ duljina visine toga krnjeg stošca.

V_{\text{krnji stožac}}=\frac{\pi\cdot12}{3}(121+22+4)=588\pi\ \mathrm{cm}^3.

Volumen šupljine iznosi

V_{\text{šupljina}}=\frac13\cdot9^2\pi\cdot12=324\pi\ \mathrm{cm}^3.

Konačno, volumen traženoga rotacijskog tijela iznosi:

V=V_{\text{krnji stožac}}-V_{\text{šupljina}}=264\pi\ \mathrm{cm}^3.