6. Zadatak

Prvo rješenje.

Raspišimo zadanu tvrdnju koristeći adicijsku formulu za sinus razlike.

$$2\sin(x-y)=\sin y\cos x$$ $$2(\sin x\cos y-\cos x\sin y)=\sin y\cos x$$ $$2\sin x\cos y=3\sin y\cos x$$ $$2\operatorname{tg}x=3\operatorname{tg}y$$ $$\operatorname{tg}x=\frac32\operatorname{tg}y.$$

Dobivenu jednakost uvrstimo u adicijsku formulu za tangens.

$$\begin{aligned} \operatorname{tg}(x-y) &=\frac{\operatorname{tg}x-\operatorname{tg}y}{1+\operatorname{tg}x\cdot\operatorname{tg}y}\\ &=\frac{\frac32\operatorname{tg}y-\operatorname{tg}y}{1+\frac32\operatorname{tg}y\cdot\operatorname{tg}y} =\frac{\frac12\operatorname{tg}y}{1+\frac32\operatorname{tg}^2y}\\ &=\frac{\frac{\sin y}{2\cos y}}{\frac{2\cos^2y+3\sin^2y}{2\cos^2y}}\\ &=\frac{2\sin y\cos^2y}{2\cos y(2\cos^2y+2\sin^2y+\sin^2y)} =\frac{\sin y\cos y}{2+\sin^2y}\\ &=\frac{2\sin y\cos y}{4+2\sin^2y} =\frac{\sin2y}{4+2\sin^2y}. \end{aligned}$$

Budući vrijedi da je:

$$\begin{aligned} 5-\cos2y &=5-(\cos^2y-\sin^2y)\\ &=5-(1-2\sin^2y)\\ &=4+2\sin^2y, \end{aligned}$$

zaključujemo da je $\operatorname{tg}(x-y)=\dfrac{\sin2y}{5-\cos2y}$, što je i trebalo dokazati.

Drugo rješenje.

Raspišimo zadanu tvrdnju koristeći adicijsku formulu za sinus razlike.

$$2\sin(x-y)=\sin y\cos x$$ $$2(\sin x\cos y-\cos x\sin y)=\sin y\cos x$$ $$2\sin x\cos y=3\sin y\cos x.$$

Iz posljednje jednakosti možemo izraziti $\sin x$:

$$\sin x=\frac{3\sin y\cos x}{2\cos y}.$$

Raspišimo tangens razlike koristeći adicijske formule za sinus i kosinus razlike:

$$\operatorname{tg}(x-y)=\frac{\sin(x-y)}{\cos(x-y)}=\frac{\sin x\cos y-\cos x\sin y}{\cos x\cos y+\sin x\sin y}.$$

Uvrstimo $\sin x=\dfrac{3\sin y\cos x}{2\cos y}$ i pojednostavnimo dobiveni izraz. Slijedi da je:

$$\begin{aligned} \operatorname{tg}(x-y) &=\frac{\frac{3\sin y\cos x}{2\cos y}\cdot\cos y-\cos x\sin y}{\cos x\cos y+\frac{3\sin y\cos x}{2\cos y}\cdot\sin y}\\ &=\frac{\frac12\sin y\cos x}{\cos x\left(\cos y+\frac{3\sin^2y}{2\cos y}\right)}\\ &=\frac{\frac12\sin y}{\cos y+\frac{3\sin^2y}{2\cos y}} =\frac{\sin y\cos y}{2\cos^2y+3\sin^2y}\\ &=\frac{2\sin y\cos y}{4\cos^2y+6\sin^2y} =\frac{\sin2y}{4\cos^2y+6\sin^2y}\\ &=\frac{\sin2y}{5-\cos^2y+\sin^2y}\\ &=\frac{\sin2y}{5-\cos2y}. \end{aligned}$$