4. Zadatak

Prvo rješenje.

Opseg kružnoga isječka polumjera $r$, središnjega kuta $\alpha$ i pripadnoga kružnog luka duljine $l$ iznosi

$$o=2r+l=2r+\frac{r\alpha\pi}{180^\circ}=40.$$

Izrazimo najprije mjeru kuta $\alpha$ iz dobivene jednakosti.

$$\alpha=\frac{180^\circ}{r\pi}(40-2r).$$

Sada možemo izraziti površinu kružnoga isječka u ovisnosti o njegovome polumjeru $r$.

$$P=\frac{r^2\alpha\pi}{360^\circ}=\frac{r^2\pi}{360^\circ}\cdot\frac{180^\circ}{r\pi}(40-2r)=\frac{r}{2}(40-2r)=20r-r^2.$$

Uočimo da je $P(r)$ kvadratna funkcija s varijablom $r$ koja maksimalnu vrijednost postiže za $r_0=-\dfrac{20}{2\cdot(-1)}=10$ cm.

Maksimalna vrijednost funkcije $P$, odnosno najveća moguća površina kružnoga isječka zadanoga opsega iznosi: $P(10)=20\cdot10-10^2=200-100=100\ \mathrm{cm}^2$.

Drugo rješenje.

Opseg kružnoga isječka polumjera $r$ i pripadnoga kružnog luka duljine $l$ iznosi:

$$o=2r+l=40.$$

Površina kružnoga isječka polumjera $r$ i pripadnoga kružnog luka duljine $l$ iznosi:

$$P=\frac{r\cdot l}{2}.$$

Sada možemo izraziti površinu kružnoga isječka u ovisnosti samo o njegovome polumjeru $r$ tako da u formulu za površinu uvrstimo $l=40-2r$.

$$P=\frac{r\cdot l}{2}=\frac{r(40-2r)}{2}=20r-r^2.$$

Maksimalna vrijednost funkcije $P$, odnosno najveća moguća površina kružnoga isječka zadanoga opsega iznosi:

$$P_0=\frac{4\cdot(-1)\cdot0-20^2}{4\cdot(-1)}=\frac{-400}{-4}=100\ \mathrm{cm}^2.$$