4. Zadatak

Prvo rješenje.

Uočimo da je $\triangle SRC\sim\triangle ABC$ po SKS poučku o sličnosti jer vrijedi:

$$\frac{|SC|}{|AC|}=\frac{|RC|}{|BC|}=\frac13 \qquad\text{i}\qquad \angle ACB=\angle SCR.$$

Iz navedene sličnosti slijedi da je $SR\parallel AB$ i $\frac{|SR|}{|AB|}=\frac13$, odnosno, da je $|SR|=\frac13|AB|$.

Budući je $|PQ|=\frac13|AB|=|SR|$ i $PQ\parallel SR$, zaključujemo da je četverokut $PQRS$ paralelogram.

Neka je $v_c$ visina iz vrha $C$ trokuta $ABC$, a $v$ visina na stranicu $PQ$ paralelograma $PQRS$.

Tada vrijedi $v=\frac23v_c$ jer je visina $v$ jednaka razlici visina iz vrha $C$ trokuta $ABC$ i $SRC$.

Površina paralelograma $PQRS$ jest:

$$P(PQRS)=v\cdot|PQ|=\frac23v_c\cdot\frac13|AB|,$$

pa je $16=\frac29\cdot|AB|\cdot v_c$, odnosno, $|AB|\cdot v_c=72$.

Konačno, tražena je površina

$$P(ABC)=\frac{|AB|\cdot v_c}{2}=36\text{ cm}^2.$$

Drugo rješenje.

Neka su $v$ visina trokuta $ABC$ iz vrha $C$, $v_1$ visina trokuta $SRC$ iz vrha $C$, $v_2$ visina trokuta $APS$ iz vrha $S$ i $v_3$ visina trokuta $QBR$ iz vrha $R$.

Vrijedi $\triangle SRC\sim\triangle ABC$ jer je:

$$\frac{|SC|}{|AC|}=\frac{|RC|}{|BC|}=\frac13 \qquad\text{i}\qquad \angle ACB=\angle SCR.$$

Tada je $v_1=\frac13v$ i $|SR|=\frac13|AB|$. Iz sličnosti trokuta $SRC$ i $ABC$ slijedi i da je pravac $SR$ paralelan pravcu $AB$ pa je $v_2=v_3$. Iz navedenoga slijedi:

$$P_{SRC}=\frac{v_1\cdot|SR|}{2} =\frac{\frac13v\cdot\frac13|AB|}{2} =\frac19\cdot\frac{v\cdot|AB|}{2} =\frac19P_{ABC}.$$

Budući je $v=v_1+v_2$ i $v_1=\frac13v$, slijedi $v_2=v_3=\frac23v$.

Izrazimo površine trokuta $APS$ i $QBR$ pomoću površine trokuta $ABC$.

$$P_{APS}=\frac{v_2\cdot|AP|}{2} =\frac{\frac23v\cdot\frac13|AB|}{2} =\frac29P_{ABC},$$ $$P_{QBR}=\frac{v_3\cdot|QB|}{2} =\frac{\frac23v\cdot\frac13|AB|}{2} =\frac29P_{ABC}.$$

Tada je:

$$P_{ABC}=P_{APS}+P_{QBR}+P_{SRC}+P_{PQRS},$$ $$P_{ABC}=\frac29P_{ABC}+\frac29P_{ABC}+\frac19P_{ABC}+16,$$

odnosno:

$$\frac49P_{ABC}=16.$$

Konačno, tražena je površina $P_{ABC}=36\text{ cm}^2$.