6. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $x$ broj kupljenih deka, $y$ broj kupljenih plahti i $z$ broj kupljenih jastučnica, $x,y,z\in\mathbb N$.

Prema uvjetima zadatka vrijedi:

$$x+y+z=100 \qquad \text{i} \qquad 120x+50y+25z=4000.$$

Izrazimo jednu nepoznanicu iz prve jednadžbe i uvrstimo u drugu:

$$z=100-x-y,$$ $$120x+50y+25(100-x-y)=4000,$$ $$19x+5y=300.$$

Iz posljednje jednadžbe ponovno izrazimo jednu nepoznanicu pomoću druge:

$$x=\frac{300-5y}{19}=\frac{5(60-y)}{19}.$$

Budući da $x$, $y$ i $z$ moraju biti prirodni brojevi, zaključujemo da brojnik mora biti djeljiv s nazivnikom, odnosno, da izraz $60-y$ mora biti višekratnik broja $19$ i da mora vrijediti $y<60$.

Tada je $60-y=19$ ili $60-y=19\cdot2=38$ ili $60-y=19\cdot3=57$.

Za svaku od tih mogućnosti dobivamo jedno od tri rješenja zadatka.

Iz $y=41$ slijedi $x=5$ i $z=54$, odnosno, kupljeno je $5$ deka, $41$ plahta i $54$ jastučnice.

Iz $y=22$ slijedi $x=10$ i $z=68$, odnosno, kupljeno je $10$ deka, $22$ plahte i $68$ jastučnica.

Iz $y=3$ slijedi $x=15$ i $z=82$, odnosno, kupljeno je $15$ deka, $3$ plahte i $82$ jastučnice.

Drugo rješenje.

Neka je $x$ broj kupljenih deka, $y$ broj kupljenih plahti i $z$ broj kupljenih jastučnica, $x,y,z\in\mathbb N$.

Prema uvjetima zadatka vrijedi:

$$x+y+z=100 \qquad \text{i} \qquad 120x+50y+25z=4000.$$

Izrazimo iz druge jednadžbe nepoznanicu $z$ i uvrstimo u prvu jednadžbu. Redom dobivamo:

$$z=160-\frac{24}{5}x-2y,$$ $$x+y+160-\frac{24}{5}x-2y=100,$$ $$-\frac{19}{5}x-y=-60.$$

Iz ove jednadžbe izrazimo nepoznanicu $y$ pomoću $x$. Slijedi da je

$$y=60-\frac{19}{5}x.$$

Zatim izrazimo i $z$ pomoću $x$:

$$z=160-\frac{24}{5}x-2\left(60-\frac{19}{5}x\right)=40+\frac{14}{5}x.$$

Kako su $x$, $y$, $z$ prirodni brojevi, iz $y=60-\frac{19}{5}x$ zaključujemo da je $x$ višekratnik broja $5$ i da mora vrijediti $x\leq15$.

Iz $x=5$ slijedi $y=41$ i $z=54$, odnosno, kupljeno je $5$ deka, $41$ plahta i $54$ jastučnice.

Iz $x=10$ slijedi $y=22$ i $z=68$, odnosno, kupljeno je $10$ deka, $22$ plahte i $68$ jastučnica.

Iz $x=15$ slijedi $y=3$ i $z=82$, odnosno, kupljeno je $15$ deka, $3$ plahte i $82$ jastučnice.