5. Zadatak

Rastavimo nazivnike svih razlomaka na faktore i napišimo uvjete na rješenje dane jednadžbe.

$$\frac{x-a}{(x-1)(x+1)}+\frac{a}{x(x+1)}=\frac{x+a}{x(x-1)}.$$

Uvjeti na rješenje su: $x\neq\pm1$, $x\neq0$.

Množenjem jednadžbe zajedničkim nazivnikom i sređivanjem jednadžbe redom se dobiva:

$$x(x-a)+a(x-1)=(x+a)(x+1),$$ $$x^2-ax+ax-a=x^2+ax+x+a,$$ $$-ax-x=2a,$$ $$-(a+1)x=2a.$$

Razlikujemo dva slučaja:

1. Za $a=-1$ jednadžba prelazi u $0\cdot x=-2$, što nije moguće niti za jedan $x\in\mathbb R$.

2. Za $a\neq-1$ dobiva se $x=-\frac{2a}{a+1}$.

Uočimo da je $x=-\frac{2a}{a+1}$ rješenje polazne jednadžbe ako su zadovoljeni navedeni uvjeti:

Iz $x\neq0$ slijedi $2a\neq0$ pa mora vrijediti $a\neq0$.

Iz $x\neq1$ slijedi $-2a\neq a+1$ pa mora vrijediti $a\neq-\frac13$.

Iz $x\neq-1$ slijedi $2a\neq a+1$ pa mora vrijediti $a\neq1$.

Prema tome, $x=-\frac{2a}{a+1}$ rješenje je polazne jednadžbe za $a\in\mathbb R\setminus\left\{-1,-\frac13,0,1\right\}$.

Konačno, polazna jednadžba nema rješenja za $a\in\left\{-1,-\frac13,0,1\right\}$.