7. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $P$ polovište osnovice $BC$, $N$ polovište kraka $AC$, a $S$ sjecište simetrala stranica jednakokračnoga trokuta $ABC$, ujedno i središte trokutu opisane kružnice radijusa $R$.

Prema uvjetima zadatka uz oznake kao na skici vrijedi:

$$\cos\beta=\frac{\frac a2}{b},$$

odnosno,

$$\frac5{13}=\frac3b,$$

iz čega slijedi da je $b=\frac{39}{5}$ cm.

Primjenom Pitagorina poučka na trokut $APC$ dobiva se jednakost $|AP|^2+\left(\frac a2\right)^2=b^2$ iz koje slijedi da je

$$|AP|=\sqrt{\left(\frac{39}{5}\right)^2-3^2}=\frac{36}{5}\text{ cm}.$$

Vrijedi da je $\triangle ANS\sim\triangle APC$ po KK počku o sličnosti jer je $\angle ANS=\angle APC=90^\circ$ i $\angle NAS=\angle PAC=\frac\alpha2$.

Iz sličnosti trokuta slijedi da je

$$\frac{\frac b2}{R}=\frac{|AP|}{b},$$

odnosno, da je $2R=\frac{169}{20}$ cm.

Neka je $r$ traženi polumjer manje kružnice i $x$ udaljenost od središta te kružnice do vrha $A$.

Budući da vrijedi

$$\sin\frac\alpha2=\frac{\frac a2}{b}=\frac5{13},$$

slijedi da je $\frac rx=\frac5{13}$, odnosno, da vrijedi $x=\frac{13}{5}r$.

Uočimo da vrijedi $|AD|=2R=x+r$, iz čega slijedi:

$$\frac{169}{20}=\frac{13}{5}r+r,$$

odnosno, $r=\frac{169}{72}$ cm.

Drugo rješenje.

Neka je $r$ traženi polumjer manje kružnice, a $x$ udaljenost od središta te kružnice do vrha $A$ nasuprot osnovice jednakokračnoga trokuta $ABC$.

Neka je $R$ radijus opisane kružnice, a $v$ visina na osnovicu $a$ jednakokračnoga trokuta $ABC$.

Prema uvjetima zadatka uz oznake kao na skici vrijedi:

$$\cos\beta=\frac{\frac a2}{b},$$

odnosno,

$$\frac5{13}=\frac3b,$$

iz čega slijedi da je $b=\frac{39}{5}$ cm.

Primjenom Pitagorina poučka dobiva se jednakost $v^2+\left(\frac a2\right)^2=b^2$ iz koje slijedi da je

$$v=\sqrt{\left(\frac{39}{5}\right)^2-3^2}=\frac{36}{5}\text{ cm}.$$

Budući da vrijedi

$$P_{ABC}=\frac{av}{2}=\frac{108}{5}\text{ cm}^2,$$

iz

$$P_{ABC}=\frac{a\cdot b\cdot b}{4R}$$

slijedi da je

$$R=\frac{ab^2}{4P_{ABC}}=\frac{169}{40}\text{ cm}.$$

Budući da vrijedi $\sin\frac\alpha2=\cos\beta=\frac5{13}$, slijedi da je $\frac rx=\frac5{13}$, odnosno, da vrijedi $x=\frac{13}{5}r$.

Uočimo da vrijedi $|AD|=2R=x+r$, iz čega slijedi:

$$\frac{169}{20}=\frac{13}{5}r+r,$$

odnosno, $r=\frac{169}{72}$ cm.

Treće rješenje.

U jednakokračnome trokutu $ABC$ točka $P$ polovište je osnovice $BC$, a $R$ polumjer tom trokutu opisane kružnice.

Neka je $r=|SD|=|ST|$ traženi polumjer manje kružnice, pri čemu je $S$ njezino središte.

U pravokutnome trokutu $\triangle APC$ vrijedi

$$\cos(\angle PCA)=\frac{|PC|}{|AC|}=\frac3{|AC|}=\frac5{13},$$

iz čega slijedi $|AC|=\frac{39}{5}$ cm.

Uočimo da vrijedi $\triangle APC\sim\triangle ATS$ jer je $\angle ATS=\angle APC=90^\circ$ i $\angle TAS=\angle PAC$.

Slijedi da je $\angle PCA=\angle TSA$ pa je prema uvjetu zadatka $\cos(\angle TSA)=\frac5{13}$.

Budući je $|AD|=2R=|AS|+r$, slijedi da je $|AS|=2R-r$.

U trokutu $AST$ vrijedi

$$\cos(\angle TSA)=\frac{|ST|}{|AS|}=\frac r{2R-r},$$

pa je

$$\frac r{2R-r}=\frac5{13}.$$

Polumjer $R$ određujemo iz trokuta $ACD$ u kojemu je $\angle ACD=90^\circ$ po Talesovom poučku o kutu nad promjerom kružnice:

$$\cos(\angle DAC)=\frac{|AC|}{|AD|}=\frac{\frac{39}{5}}{2R}=\frac{39}{10R}.$$

Budući vrijedi

$$\cos(\angle DAC)=\cos(\angle PAC)=\sin(\angle PCA) =\sqrt{1-\left(\frac5{13}\right)^2}=\frac{12}{13},$$

slijedi da je $\frac{39}{10R}=\frac{12}{13}$, odnosno, da je $R=\frac{169}{40}$ cm.

Konačno se iz $\frac r{2R-r}=\frac5{13}$ dobiva da je $r=\frac{169}{72}$ cm.