4. Zadatak

Tražena površina je $$P_{ABCDE}=2(P_{AHE}-P_{GHD}).$$ Stranica upisanog jednakostraničnog trokuta je $$a=\frac{3r}{\sqrt3}=\sqrt3.$$ Osnovica trokuta $\triangle AHE$ je $$|AH|=2r=2.$$ Odredimo visinu $|EF|$ tog trokuta. Iz jednakokračnog pravokutnog trokuta $\triangle FHE$ je $$|EF|=|FH|=2-|AF|,$$ a iz trokuta $\triangle AFE$ imamo $$\operatorname{tg}60^\circ=\frac{|AF|}{|EF|},\quad\text{odnosno}\quad|AF|=\sqrt3|EF|.$$ Iz ove dvije jednakosti dobivamo $|EF|=2-\sqrt3|EF|$ pa je visina $$|EF|=\sqrt3-1.$$ Slijedi $$P_{\triangle AHE}=\frac{|AH|\cdot|EF|}2=\frac{2(\sqrt3-1)}2=\sqrt3-1.$$ Trokut $\triangle GHD$ je jednakokračan pravokutan trokut, tj. $$|DG|=|GH|=2r-|AG|=2r-\frac{a\sqrt3}2=2-\frac32=\frac12.$$ Slijedi $$P_{\triangle GHD}=\frac{|GH|\cdot|GD|}2=\frac{\frac12\cdot\frac12}2=\frac18.$$ Tada je tražena površina $$P_{ABCDE}=2(P_{AHE}-P_{GHD})=2\left((\sqrt3-1)-\frac18\right)=2\sqrt3-\frac94.$$