1. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $z=x+yi$. Iz danog uvjeta slijedi $$\left|\frac{x+(y-1)i}{x+(y-3)i}\right|=\frac12$$ $$\sqrt{x^2+(y-1)^2}=\frac12\sqrt{x^2+(y-3)^2}$$ Nakon kvadriranja i provedenih računskih operacija dobit ćemo da za kompleksni broj $z$ vrijedi $$x^2+y^2-\frac23y-\frac53=0\quad(*)$$ što možemo zapisati u obliku $$x^2+\left(y-\frac13\right)^2=\left(\frac43\right)^2$$ Zaključujemo da se $z$ nalazi na kružnici sa središtem na osi $y$ u $S\left(0,\frac13\right)$, polumjera $r=\frac43$.

Točka na toj kružnici koja je najudaljenija od ishodišta je tražena točka. Zato je rješenje kompleksni broj čiji je realni dio jednak 0, a imaginarni $\frac53$, odnosno radi se o broju $z=\frac53i$.

Drugo rješenje.

Do uvjeta $(*)$ dolazimo kao i u prvom rješenju. Za modul kompleksnog broja $z$, uz dobiveni uvjet $(*)$, vrijedi $$|z|^2=x^2+y^2=\frac23y+\frac53,$$ a ovo će biti maksimalno za maksimalni iznos od y. Iz $$x^2=-y^2+\frac23y+\frac53=\left(\frac53-y\right)(1+y)$$ zaključujemo da je $\left(\frac53-y\right)(1+y)\ge0$, odnosno $y\in\left[-1,\frac53\right]$. Slijedi da maksimalna vrijednost za $y$ iznosi $\frac53$, a za $y=\frac53$ iz $(*)$ dobivamo $x=0$.

Dakle, rješenje je broj $z=\frac53i$.