7. Zadatak

Nakon sređivanja izraza

$$(a-x)^3+(b-x)^3=(a-b)((a-x)^2+(b-x)^2),$$

dobivamo

$$(b-x)(2x^2-x(a+3b)+a^2+2b^2-ab)=0.$$

Imamo nekoliko mogućnosti.

Prva mogućnost.

Jedno rješenje ove jednadžbe je $x=b$.

Ako je to jedino rješenje mora vrijediti $b^2=4068$, a tada $b$ nije prirodan broj, pa niti višekratnik broja $6$.

Druga mogućnost.

Jedno rješenje je $x=b=6k$.

Ako jednadžba ima dva rješenja, onda kvadratna jednadžba

$$2x^2-x(a+3b)+a^2+2b^2-ab=0$$

ima jedno rješenje, pa je njezina diskriminanta jednaka $0$.

$$D=0,\quad x=\frac{a+3b}{4}=6k\pm6.$$

Sada je

$$(6k)^2+(6k\pm6)^2=4068,$$ $$k^2\pm k=56,\quad k\in\mathbb N.$$

Slijedi $k=7$ ili $k=8$.

Za $k=7$ je $b=x=42$ ili $x=48$. Tada je $b=42,a=66$.

Za $k=8$ je $b=x=48$ ili $x=42$. Tada je $b=48,a=24$.

Treća mogućnost.

Jedno rješenje je $x=b=6k$.

Kvadratna jednadžba $2x^2-x(a+3b)+a^2+2b^2-ab=0$ ima dva rješenja i vrijedi

$$x_1^2+x_2^2+x_3^2=4068,$$ $$(x_2-6)^2+x_2^2+(x_2+6)^2=4068,$$ $$3x_2^2=4014.$$

Ova jednadžba nema rješenja u skupu prirodnih brojeva.

Prema tome rješenje zadatka je

$$\mathbf{a\cdot b=2772\ ili\ 1152}.$$