1. Zadatak

Imamo dvije mogućnosti:

$$\frac{2x^2+x-8}{x^2-2x-8}=2 \quad\text{ili}\quad \frac{2x^2+x-8}{x^2-2x-8}=-2.$$

Primijetimo i da nazivnik mora biti različit od $0$, stoga iz $x^2-2x-8\ne0$ zaključujemo $x\ne4$ i $x\ne-2$.

Prvi slučaj: $\frac{2x^2+x-8}{x^2-2x-8}=2$. Množenjem ove jednakosti s nazivnikom dolazimo do

$$2x^2+x-8=2x^2-4x-16.$$

Sređivanjem dobivamo $5x=-8$, odakle čitamo jedno rješenje $x_1=-\frac85$.

Drugi slučaj: $\frac{2x^2+x-8}{x^2-2x-8}=-2$. Kao u prvom slučaju, dolazimo do

$$2x^2+x-8=-2x^2+4x+16,$$

odakle slijedi $4x^2-3x-24=0$.

Rješenja su $x_2=\frac{3+\sqrt{393}}8$ i $x_3=\frac{3-\sqrt{393}}8$.

Konačno rješenje je, dakle,

$$x_1+x_2+x_3=-\frac85+\frac68=-\frac{17}{20}.$$

Napomena: Budući da se traži samo zbroj rješenja, u drugom slučaju možemo koristiti Vieteove formule kako bismo dobili $x_2+x_3=\frac68$ direktno, bez rješavanja kvadratne jednadžbe. Ipak, tada treba provjeriti da ni $4$ ni $-2$ nisu rješenja promatrane jednadžbe.