3. Zadatak

Broj $n$ je cijeli broj za koji vrijedi $0\le n\le2021$.

Zapišimo binomne koeficijente s pomoću faktorijela i primijenimo njihova svojstva. Tada je redom:

$$\frac{2022!}{(n+1)!(2021-n)!}-\frac{2021!}{n!(2021-n)!}\le\frac1{2023}\cdot\frac{2023!}{(n+2)!(2021-n)!},$$ $$\frac{2022\cdot2021!}{(n+1)\cdot n!}-\frac{2021!}{n!}\le\frac1{2023}\cdot\frac{2023\cdot2022\cdot2021!}{(n+2)(n+1)\cdot n!},$$ $$\frac{2022}{n+1}-1\le\frac{2022}{(n+2)(n+1)},$$ $$2022(n+2)-(n+1)(n+2)\le2022,$$ $$2022n+4044-n^2-3n-2-2022\le0,$$ $$-n^2+2019n+2020\le0,$$ $$-n^2+2020n-n+2020\le0,$$ $$(2020-n)(n+1)\le0.$$

Rješenje ove nejednadžbe su svi prirodni brojevi $n\ge2020$, a budući da je $0\le n\le2021$, konačno rješenje su brojevi

$$n\in\{2020,2021\}.$$