7. Zadatak

Neka je $z=x+yi$. Tada iz $|z|\le4$ slijedi $x^2+y^2\le16$. Točke $(x,y)$ za koje vrijedi navedena nejednakost čine krug sa središtem u ishodištu polumjera 4.

Iz $2\sqrt3-2\le\operatorname{Re}(z)+\operatorname{Im}(z)\le4$ slijedi $2\sqrt3-2\le x+y\le4$, što opisuje točke $(x,y)$ koje se nalaze između pravaca $y=2\sqrt3-2-x$ i $y=4-x$, ili na njima.

Slijedi da je dani skup kompleksnih brojeva predočen osjenčanim likom na slici.

Točke $C$ i $D$ su sjecišta kružnice $x^2+y^2=16$ i pravca $x+y=4$, pa su one jednake $C(0,4)$ i $D(4,0)$.

Točke $A$ i $B$ dobijemo kao sjecišta kružnice i drugog pravca, odnosno kao rješenja sustava

$$x^2+y^2=16,\qquad x+y=2\sqrt3-2.$$

Slijedi: $A(2\sqrt3,-2)$ i $B(-2,2\sqrt3)$.

Neka je $M$ okomica spuštena iz $B$ na os $x$. U pravokutnom trokutu $MOB$ je $|OM|=2$ i $|BO|=4$, pa je

$$\cos\angle MOB=\frac12,$$

odnosno $\angle MOB=60^\circ$. Slijedi da je $\angle COB=30^\circ$, odnosno

$$\angle AOB=150^\circ=\frac{5\pi}{6}.$$

Površinu osjenčanog lika na slici možemo dobiti tako da od površine kružnog isječka $AOB$ oduzmemo površinu trokuta $BOA$ i površinu kružnog odsječka $CD$. Slijedi da je tražena površina jednaka

$$P=\frac{16\pi\cdot\frac{5\pi}{6}}{2\pi}-\frac12\cdot4\cdot4\cdot\sin\frac{5\pi}{6}-\left(\frac14\cdot16\pi-\frac12\cdot16\right)$$ $$P=\frac{8\pi}{3}+4.$$