6. Zadatak

Ispišimo prvih nekoliko vrijednosti danog niza funkcija za $x=4$.

$$f_1(4)=\frac1{2-4}=-\frac12,$$ $$f_2(4)=(f_1\circ f_1)(4)=\frac1{2+\frac12}=\frac25,$$ $$f_3(4)=(f_1\circ f_2)(4)=\frac1{2-\frac25}=\frac58,$$ $$f_4(4)=(f_1\circ f_3)(4)=\frac1{2-\frac58}=\frac8{11}=\frac{3\cdot4-4}{3\cdot4-1},$$ $$\cdots$$

Uočimo da je svaki član ovog niza oblika

$$f_n(4)=\frac{3n-4}{3n-1}.\tag{*}$$

Dokažimo matematičkom indukcijom da je tvrdnja $(*)$ istinita za sve prirodne brojeve $n$.

Za $n=1$ tvrdnja vrijedi, kao što smo već prethodno provjerili.

Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za neki prirodni broj $n$, odnosno da je

$$f_n(4)=\frac{3n-4}{3n-1},$$

za neki $n\in\mathbb{N}$.

Dokažimo da tvrdnja tada vrijedi i za sljedeći prirodan broj, $n+1$. Pišemo redom:

$$f_{n+1}(4)=\frac1{2-f_n(4)},$$

po pretpostavci je $f_n(4)=\frac{3n-4}{3n-1}$, pa je

$$f_{n+1}(4)=\frac1{2-\frac{3n-4}{3n-1}}=\frac{3n-1}{3n+2}=\frac{3(n+1)-4}{3(n+1)-1}.$$

Dakle, iz činjenice da tvrdnja $(*)$ vrijedi za neki $n\in\mathbb{N}$, pokazali smo da vrijedi i za $n+1$, pa tvrdnja $(*)$ vrijedi za sve prirodne brojeve $n$.

Tada vrijedi i za $n=2021$, pa je

$$f_{2021}(4)=\frac{3\cdot2021-4}{3\cdot2021-1}=\frac{6059}{6062}.$$