2. Zadatak

Neka su stranice trokuta duljina $n$, $n+2$ i $n+4$.

Označimo s $\alpha$ najmanji kut trokuta, nasuprot najkraćoj stranici duljine $n$. Tada prema poučku o kosinusu slijedi

$$n^2=(n+2)^2+(n+4)^2-2(n+2)(n+4)\cos\alpha.$$

Budući da je $\sin\alpha=\frac{\sqrt{15}}8$, slijedi

$$\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\frac{15}{64}}=\pm\sqrt{\frac{49}{64}}=\pm\frac78.$$

Kako je $\alpha$ najmanji kut trokuta, sigurno je $\alpha<90^\circ$, pa je $\cos\alpha=\frac78$.

Riješimo jednadžbu:

$$n^2=(n+2)^2+(n+4)^2-2(n+2)(n+4)\cdot\frac78,$$ $$n^2=n^2+4n+4+n^2+8n+16-(n^2+6n+8)\cdot\frac74,$$ $$0=4n^2+48n+80-7n^2-42n-56,$$ $$3n^2-6n-24=0,$$ $$n^2-2n-8=0,$$ $$n_1=4,\qquad n_2=-2.$$

Duljine stranica trokuta su 4, 6 i 8.

Opseg trokuta je jednak 18.