5. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo s $E$ nožište visine iz vrha $A$ na osnovku $BCD$.

Neka su bridovi pravilnog tetraedra $ABCD$ duljine $a$.

Tada je

$$|BE|=|EC|=\frac23\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{3}.$$

Iz pravokutnog trokuta $AEB$ imamo:

$$|AE|^2=a^2-\left(\frac{a\sqrt3}{3}\right)^2\Longrightarrow |AE|=\frac{a\sqrt6}{3},$$

te je

$$|EM|=\frac12|AE|=\frac{a\sqrt6}{6}.$$

Iz pravokutnog trokuta $MEB$ imamo:

$$|MB|^2=\left(\frac{a\sqrt3}{3}\right)^2+\left(\frac{a\sqrt6}{6}\right)^2\Longrightarrow |MB|=\frac{a\sqrt2}{2},$$

te je $|MC|=|MB|=\frac{a\sqrt2}{2}$.

U jednakokračnom trokutu $MBC$ treća stranica je duljine $a$ pa prema obratu Pitagorinog poučka slijedi da je kut $BMC$ pravi kut.

Drugo rješenje.

Neka je $E$ nožište visine iz vrha $A$ i $F$ polovište brida $BC$.

Tetraedar je pravilan, pa je točka $E$ težište trokuta $BCD$.

Točka $E$ dijeli dužinu $DF$ u omjeru $2:1$.

Neka je $G$ polovište dužine $DE$. Trokuti $MEF$ i $MEG$ su sukladni (S-K-S, jednake dvije stranice i kut među njima) pa su stranice $FM$ i $GM$ jednake duljine.

Dužina $MG$ je srednjica trokuta $ADE$,

pa je

$$|MG|=\frac12|AD|,$$

odnosno

$$|MF|=\frac12|BC|.$$

S obzirom da je težišnica $MF$ trokuta $MBC$ jednaka polovini stranice $BC$, kut $BMC$ je pravi kut.