5. Zadatak

U zadatku je navedeno da je duljina polumjera nižeg stošca jednaka $R$ pa duljinu polumjera višeg stošca, koji je dva puta kraći, označimo s $\frac R2$. Analogno navedenome, ako visinu kraćeg stošca označimo s $h$, duljinu višeg stošca označit ćemo s $2h$.

Skiciramo li osni presjek ovih stožaca, vidimo da su po poučku $K-K$ trokuti $\triangle SAV_1$ i $\triangle S_1CV_1$ slični:

Označimo li s $x=|S_1V_1|$, vrijedi da je:

$$R:h=r:x\Rightarrow Rx=hr.$$ $$x=\frac{hr}{R}. \tag{6}$$

Analogno gornjem zaključku, zaključujemo da su trokuti $\triangle S_1CV$ i $\triangle SBV$ slični pa vrijedi da je:

$$\frac R2:2h=r:(h+x)\Rightarrow R(h+x)=4hr.$$ $$\begin{aligned} Rx&=4hr-Rh,\\ x&=\frac{4hr-Rh}{R}. \tag{7} \end{aligned}$$

Izjednačavanjem jednakosti $(6)$ i $(7)$ dobivamo da je:

$$\begin{aligned} \frac{hr}{R}&=\frac{4hr-Rh}{R},\\ hr&=4hr-Rh,\\ 3hr&=Rh\Rightarrow r=\frac R3. \end{aligned}$$

Duljina, odnosno opseg tražene kružnice iznosi $o=2r\pi$, tj. $o=2\cdot\frac R3\cdot\pi=\frac23R\pi$.