6. Zadatak

Ako broj $x!$ nije djeljiv brojem $3$, tada je $x=1$ ili $x=2$.

Za $x=1\Rightarrow x!+3=1+3=4=2^2$ pa je $y=2$.

Za $x=2\Rightarrow x!+3=2+3=5$, a broj $5$ nije kvadrat prirodnog broja pa takav $y$ ne postoji.

Za $x=3\Rightarrow x!+3=6+3=9=3^2$ pa je $y=3$.

Za $x=4\Rightarrow x!+3=24+3=27$, a broj $27$ nije kvadrat prirodnog broja pa takav $y$ ne postoji.

Za $x=5\Rightarrow x!+3=120+3=123$ pa prirodan broj $y$ ni za ovaj slučaj ne postoji.

Za $x\geq3$, vrijedi da je broj $x!$ djeljiv brojem $3$.

Ako je broj $x!$ djeljiv brojem $3$, tada vrijedi da je i zbroj $x!+3$ djeljiv brojem $3$ pa je i $y^2$ djeljiv brojem $3$, odakle slijedi da je $y^2$ djeljiv i brojem $9$. Ako je $y^2$ djeljiv brojem $9$, onda je i zbroj $x!+3$ djeljiv brojem $9$.

Za $x\geq6$ vrijedi da je $x!+3=9k+3\Rightarrow x!+3$ nije djeljiv brojem $9$. To znači da ni $y^2$ ne može biti djeljiv brojem $9$ što je u suprotnosti sa gornjim zaključkom.

Zaključujemo da za $x\geq6$ nema prirodnih brojeva za koje vrijedi zadana jednakost.

Jedini parovi brojeva koji zadovoljavaju zadanu jednadžbu su $x=1$, $y=2$ i $x=3$, $y=3$.