3. Zadatak

Označimo zadani kompleksni broj s: $z=x+yi$. Tada vrijedi da je:

$$\begin{aligned} (x-yi)i&=(x+yi)^2,\\ xi-yi^2&=x^2+2xyi+y^2i^2,\\ xi+y&=x^2+2xyi-y^2. \end{aligned}$$

Izjednačimo li realne te imaginarne dijelove gornje jednadžbe, dobivamo:

$$y=x^2-y^2 \tag{4}$$

i

$$x=2xy. \tag{5}$$

Iz jednakosti $(5)$ slijedi da je $x-2xy=0$, tj. da je $x(1-2y)=0$ pa imamo dva slučaja.

Prvi slučaj:

Ako je $x=0$, tada je

$$\begin{aligned} y&=0^2-y^2,\\ y^2+y&=0,\\ y(y+1)&=0. \end{aligned}$$

Rješenja dobivene jednadžbe su:

$$y_1=0,\qquad y_2=-1.$$

Drugi slučaj:

Ako je $y=\frac12$ tada je

$$\begin{aligned} \frac12&=x^2-\frac14,\\ x^2&=\frac34. \end{aligned}$$

Rješenja ove jednadžbe su $x_{3,4}=\pm\frac{\sqrt3}{2}$.

Traženi kompleksni brojevi za koje vrijedi zadana jednakost su:

$$z_1=0,\quad z_2=-i,\quad z_3=\frac{\sqrt3}{2}+\frac12i,\quad z_3=-\frac{\sqrt3}{2}+\frac12i.$$