2. Zadatak

Ordinate krajnjih točaka tetive koja je na osi apscisa su $y=0$. Uvrštavanjem te koordinate u jednadžbu kružnice $(x+4)^2+(y-3)^2=r^2$ dobivamo:

$$x^2+8x-r^2+25=0.$$

Rješavanjem dobivene kvadratne jednadžbe dobivamo da je:

$$\begin{aligned} x_{1,2}&=\frac{-8\pm\sqrt{64-4(25-r^2)}}2,\\ x_{1,2}&=-4\pm\sqrt{16-(25-r^2)},\\ x_{1,2}&=-4\pm\sqrt{r^2-9}. \tag{1} \end{aligned}$$

Duljina tetive jednaka je $6$ jediničnih dužina pa vrijedi da je:

$$|x_1-x_2|=6. \tag{2}$$

Iz $(1)$ i $(2)$ slijedi da je:

$$\begin{aligned} \left|\left(-4+\sqrt{r^2-9}\right)-\left(-4-\sqrt{r^2-9}\right)\right|&=6,\\ \left|2\sqrt{r^2-9}\right|&=6,\\ \left|\sqrt{r^2-9}\right|&=3,\\ r^2-9&=9,\\ r^2&=18. \end{aligned}$$

Jednadžba zadane kružnice sada je jednaka:

$$(x+4)^2+(y-3)^2=18. \tag{3}$$

Uvrštavanjem $x=0$ u jednadžbu kružnice $(3)$ dobivamo:

$$16+(y-3)^2=18\Rightarrow y_{1,2}=3\pm\sqrt2.$$

Duljina tražene tetive jednaka je apsolutnoj vrijednosti razlike ordinata krajnjih točaka te tetive, tj.

$$|y_1-y_2|=\left|(3+\sqrt2)-(3-\sqrt2)\right|=2\sqrt2$$

jediničnih dužina.