7. Zadatak

Izraz

$$\left((\sqrt x)^{\frac1{\log x+1}}+\sqrt[12]{x}\right)^n$$

je definiran za $x>0$ i $\log x+1\neq0$, tj. $x\neq10^{-1}$ iz čega slijedi da je izraz definiran za

$$x\in\left\langle0,\frac1{10}\right\rangle\cup\left\langle\frac1{10},+\infty\right\rangle.$$

Da je umnožak trećeg i dvostrukog zadnjeg binomnog koeficijenta jednak $30$ zapisujemo:

$$\binom n2\cdot2\binom nn=30.$$ $$\begin{aligned} \frac{n(n-1)}2\cdot2\binom n0&=30,\\ n(n-1)&=30,\\ n^2-n-30&=0. \end{aligned}$$

Rješenja gornje jednadžbe su $n_1=6$, $n_2=-5$.

Zbog uvjeta da je $n\geq2$ i $n\geq1$ slijedi da je rješenje jednadžbe samo $n_1=6$.

Četvrti član razvoja binoma jednak je:

$$\begin{aligned} T_4 &=\binom63\left((\sqrt x)^{\frac1{\log x+1}}\right)^{6-3}\left(\sqrt[12]{x}\right)^3\\ &=\binom63\left(x^{\frac1{2(\log x+1)}}\right)^3x^{\frac14}\\ &=\binom63x^{\frac3{2(\log x+1)}}x^{\frac14}\\ &=\binom63x^{\frac3{2(\log x+1)}+\frac14}. \end{aligned}$$

Prema uvjetima zadatka slijedi da je $\binom63x^{\frac3{2(\log x+1)}+\frac14}=200$, tj. da je $x^{\frac3{2(\log x+1)}+\frac14}=10$.

Rješavanjem dobivene jednadžbe dobivamo:

$$\begin{aligned} \log x^{\frac3{2(\log x+1)}+\frac14}&=\log10,\\ \left(\frac3{2(\log x+1)}+\frac14\right)\log x&=1,\\ \frac{6+\log x+1}{4(\log x+1)}\log x&=1,\\ (7+\log x)\log x&=4(\log x+1),\\ \log^2x+3\log x-4&=0. \end{aligned}$$

Supstitucijom da je $\log x=t$ dobivamo jednadžbu $t^2+3t-4=0$, čija su rješenja: $t_1=-4$, $t_2=1$.

Uvrštavanjem dobivenih rješenja u supstituirani izraz dobivamo rješenja dviju vrijednosti za traženi $x$, tj. da je $x_1=10^{-4}$, $x_2=10$.