1. Zadatak

Da bismo riješili zadanu jednadžbu s apsolutnom vrijednošću, potrebno je promatrati dva slučaja.

Prvi slučaj:

Ako je $\sin x-\cos x\geq0$, vrijedi da je:

$$\begin{aligned} \sin x+\cos x+\sin x-\cos x&=1,\\ 2\sin x&=1. \end{aligned}$$

Rješavanjem jednadžbe $\sin x=\frac12$ dobivamo rješenja

$$x_1=\frac{\pi}{6}+2k\pi,\qquad x_2=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Iz uvjeta zadatka da je $x\in[0,2\pi]$ slijedi $x_1=\frac{\pi}{6}$, $x_2=\frac{5\pi}{6}$.

Kako smo razmatrali slučaj u kojemu je $\sin x-\cos x\geq0$, tj. $\sin x\geq\cos x$, uviđamo da dobiveno rješenje $x_1$ taj uvjet ne zadovoljava. Rješenje zadane jednadžbe je samo $x_2=\frac{5\pi}{6}$.

Drugi slučaj:

Ako je $\sin x-\cos x<0$, vrijedi da je:

$$\begin{aligned} \sin x+\cos x-(\sin x-\cos x)&=1,\\ 2\cos x&=1. \end{aligned}$$

Rješavanjem jednadžbe $\cos x=\frac12$ dobivamo rješenja

$$x_3=\frac{\pi}{3}+2k\pi,\qquad x_4=\frac{5\pi}{3}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Iz uvjeta zadatka da je $x\in[0,2\pi]$ slijedi $x_3=\frac{\pi}{3}$, $x_4=\frac{5\pi}{3}$.

Kako smo razmatrali slučaj u kojemu je $\sin x-\cos x<0$, tj. $\sin x<\cos x$, uviđamo da dobiveno rješenje $x_3$ taj uvjet ne zadovoljava. Rješenje zadane jednadžbe je samo $x_4=\frac{5\pi}{3}$.

Zbroj rješenja zadane jednadžbe je:

$$x_2+x_4=\frac{5\pi}{6}+\frac{5\pi}{3}=\frac{5\pi}{2}.$$