4. Zadatak

Neka je

$$P_{\triangle OMA}=P_1=2,\qquad P_{\triangle OAB}=P_2=3,\qquad P_{\triangle OBN}=P_3=4,\qquad \text{a }P_{\triangle ONM}=P_4.$$

Traženu površinu trokuta $MNC$ označimo s $P$. Trokuti $OAB$ i $OBN$ imaju zajedničku visinu $x$. Isto tako trokuti $OMA$ i $ONM$ imaju zajedničku visinu $y$. Tada iz omjera njihovih površina slijedi

$$\frac{P_3}{P_2}=\frac{\frac{|ON|\cdot x}{2}}{\frac{|OA|\cdot x}{2}}=\frac{4}{3}$$ $$\frac{|ON|}{|OA|}=\frac{4}{3}.\tag{1}$$

Analogno

$$\frac{P_4}{P_1}=\frac{\frac{|ON|\cdot y}{2}}{\frac{|OA|\cdot y}{2}}, \qquad \frac{P_4}{2}=\frac{|ON|}{|OA|}.\tag{2}$$

Iz (1) i (2) slijedi $P_4=\frac{8}{3}$.

Nadalje, promotrimo trokute $MNC$ i $ANC$ sa zajedničkom visinom $z$. Kao i u prethodnom slučaju, iz omjera površina dobivamo omjer stranica

$$\frac{\frac{|CM|\cdot z}{2}}{\frac{|AC|\cdot z}{2}} =\frac{P}{2+\frac{8}{3}+P}.$$

Slijedi

$$\frac{|CM|}{|AC|}=\frac{3P}{14+3P}.\tag{3}$$

Analogno iz trokuta $MBC$ i $ABC$ sa zajedničkom visinom $v$ dobivamo

$$\frac{\frac{|CM|\cdot v}{2}}{\frac{|AC|\cdot v}{2}} =\frac{4+\frac{8}{3}+P}{9+\frac{8}{3}+P}.$$

Slijedi

$$\frac{|CM|}{|AC|}=\frac{20+3P}{35+3P}.\tag{4}$$

Iz (3) i (4) dobivamo

$$\frac{20+3P}{35+3P}=\frac{3P}{14+3P}$$

te površina traženog trokuta iznosi

$$P=\frac{280}{3}.$$