5. Zadatak

Prvo rješenje.

Nakon što od broja oraha u početnoj hrpi oduzmemo 1 moramo dobiti broj djeljiv s 5. To znači da je početni broj iz skupa $6,11,16,21,26,\ldots$. Nakon što oduzmemo 1, množimo s $\frac45$ jer je prva osoba sebi zadržala $\frac15$, pa je drugoj osobi za raspodjelu ostalo $4,8,12,16,20,\ldots$.

Kako druga osoba nastavlja postupak, kad od tih brojeva oduzmemo 1 i pomnožimo s $\frac45$, rezultat mora biti cijeli broj. To znači da su jedino mogući brojevi (oraha na hrpi poslije prve osobe) $16,36,56,76,96,\ldots$.

Analogno zaključujemo dalje:

Ako prethodnim brojevima oduzmemo 1 i pomnožimo s $\frac45$, dobivamo brojeve $12,28,44,60,76,\ldots$, no da bi treća osoba mogla nastaviti postupak, preostaju, nakon druge osobe, samo brojevi $76,156,236,316,396,\ldots$.

Nakon oduzimanja 1 i množenja s $\frac45$, dobivamo $60,124,188,252,316,\ldots$, ali da bi četvrta osoba mogla izvršiti raspodjelu nakon treće osobe, preostaju brojevi $316,636,956,1276,1596,\ldots$.

Nakon četvrte osobe preostaju brojevi $252,508,764,1020,1276,\ldots$, a najmanji koji je moguć je $1276$.

Nakon pete osobe na hrpi ostaje $1020$ oraha pa je peta osoba dobila

$$\frac{1276-1}{5}=255$$

oraha.

Sad kad smo pronašli najmanji (cijeli) broj oraha koji ostaje nakon svih raspodjela, vratimo se unazad.

Prije pete osobe na hrpi je bilo $1276$ oraha.

Prije četvrte osobe na hrpi je bilo

$$\frac54\cdot1276+1=1596$$

oraha. Analogno računamo i dalje.

Prije treće osobe na hrpi je bilo

$$\frac54\cdot1596+1=1996$$

oraha.

Prije druge osobe na hrpi je bilo

$$\frac54\cdot1996+1=2496.$$

I na kraju, prije prve osobe na hrpi je

$$\frac54\cdot2496+1=3121$$

orah.

Drugo rješenje.

Označimo s $a$ broj oraha na hrpi nakon posljednje raspodjele, odnosno nakon raspodjele pete osobe.

Tada je prije pete osobe bilo na hrpi

$$\frac54a+1$$

oraha.

Prije četvrte osobe je na hrpi

$$\frac54\left(\frac54a+1\right)+1=\frac{25}{16}a+\frac94,$$

prije treće osobe je na hrpi

$$\frac54\left(\frac{25}{16}a+\frac94\right)+1=\frac{125}{64}a+\frac{61}{16},$$

prije druge osobe je na hrpi

$$\frac54\left(\frac{125}{64}a+\frac{61}{16}\right)+1=\frac{625}{256}a+\frac{369}{64},$$

prije prve osobe je na hrpi

$$\frac54\left(\frac{625}{256}a+\frac{369}{64}\right)+1=\frac{3125}{1024}a+\frac{1845}{256}+1.$$

To je broj oraha u početnoj hrpi i to mora biti prirodan broj. Tražimo najmanji takav. Zapišimo taj broj u sljedećem obliku

$$\frac{3125}{1024}a+\frac{1845}{256}+1 =\frac{(3\cdot1024+53)a}{1024}+\frac{7\cdot256+53}{256}+1 =3a+8+\frac{53}{1024}(a+4).$$

Ovo će biti prirodan broj ako je $a+4$ višekratnik od $1024$, a bit će najmanji za $a+4=1024$. Tada je $a=1020$, a najmanji mogući broj oraha u početnoj hrpi je

$$3\cdot1020+8+53=3121.$$