2. Zadatak

Trigonometrijski prikaz broja $\frac{\sqrt3}2-\frac12i$ je $$\frac{\sqrt3}2-\frac12i=\cos\frac{11\pi}6+i\sin\frac{11\pi}6.$$ Zato je, prema de Moivreovoj formuli, $$\begin{aligned} \left(\frac{\sqrt3}2-\frac12i\right)^5-i&=\left(\cos\frac{55\pi}6+i\sin\frac{55\pi}6\right)-i\\ &=\cos\frac{7\pi}6+i\sin\frac{7\pi}6-i=-\frac{\sqrt3}2-\frac12i-i=-\frac{\sqrt3}2-\frac32i. \end{aligned}$$ Trigonometrijski prikaz ovog broja je $$-\frac{\sqrt3}2-\frac32i=\sqrt3\left(-\frac12-\frac{\sqrt3}2i\right)=\sqrt3\cdot\left(\cos\frac{4\pi}3+i\sin\frac{4\pi}3\right).$$ Vrijednosti četvrtih korijena ovog broja su: $$z'_k=\sqrt[8]3\left(\cos\frac{2\pi+3k\pi}6+i\sin\frac{2\pi+3k\pi}6\right),\qquad k=0,1,2,3.$$ Četiri kompleksna broja koja zadovoljavaju početnu jednadžbu su $$\begin{aligned} z_0&=z'_0+1=\sqrt[8]3\left(\cos\frac\pi3+i\sin\frac\pi3\right)=\sqrt[8]3\left(\frac12+\frac{\sqrt3}2i\right)+1,\\ z_1&=z'_1+1=\sqrt[8]3\left(\cos\frac{5\pi}6+i\sin\frac{5\pi}6\right)=\sqrt[8]3\left(-\frac{\sqrt3}2+\frac12i\right)+1,\\ z_2&=z'_2+1=\sqrt[8]3\left(\cos\frac{4\pi}3+i\sin\frac{4\pi}3\right)=\sqrt[8]3\left(-\frac12-\frac{\sqrt3}2i\right)+1,\\ z_3&=z'_3+1=\sqrt[8]3\left(\cos\frac{11\pi}6+i\sin\frac{11\pi}6\right)=\sqrt[8]3\left(\frac{\sqrt3}2-\frac12i\right)+1, \end{aligned}$$ Ovi su brojevi nacrtani na slici. Očito je da vrijedi $\operatorname{Im}z_2<0$, $\operatorname{Im}z_3<0$, pa ova dva broja ne zadovoljavaju. Također, $\operatorname{Re}z_0>0$, $\operatorname{Im}z_0>0$, pa je $z_0$ rješenje.

Za broj $z_1$ je $\operatorname{Im}z_1>0$, a realni dio ovog broja iznosi $$1-\sqrt[8]3\cdot\frac{\sqrt3}2.$$ Da bismo odredili predznak ovog broja, dovoljno je potencirati drugi pribrojnik: $$\left(\sqrt[8]3\cdot\frac{\sqrt3}2\right)^8=\frac{3\cdot3^4}{2^8}=\frac{243}{256}<1.$$ Zato je $$\operatorname{Re}z_1=1-\sqrt[8]3\cdot\frac{\sqrt3}2>0,$$ pa je i broj $z_1$ rješenje.